Część wspólna


Część wspólna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Część wspólna, przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięciezbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Przekrój zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A , {\displaystyle A,} które należą również do B {\displaystyle B} [1][2]. Część wspólna zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jest oznaczana przez A B . {\displaystyle A\cap B.} Tak więc:

x ( A B ) ( x A ) ( x B ) {\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)} [1][3][4],

co jest równoważne zapisowi

A B = { x Ω : x A x B } {\displaystyle A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}} [5][6],

gdzie Ω {\displaystyle \Omega } jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór A {\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}} elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny A {\displaystyle {\mathcal {A}}} [10]:

x A ( ( A A ) ( x A ) ) . {\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.}

Można to równoważnie zapisać jako

A = { x Ω : ( A A ) ( x A ) } {\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}} [11].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów ( A i ) i I , {\displaystyle (A_{i})_{i\in I},} gdzie zbiór indeksów I {\displaystyle I} jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

i I A i = { a Ω : ( i I ) ( a A i ) } , {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},}

co jest równoważne

a i I A i ( ( i I ) ( a A i ) ) {\displaystyle a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}} [12][13].

Przykłady | edytuj kod

  • Niech N {\displaystyle \mathbb {N} } będzie zbiorem liczb naturalnych, a P {\displaystyle P} niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas N P {\displaystyle \mathbb {N} \cap P} jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
N P = { n N : 2 {\displaystyle \mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2} dzieli n } . {\displaystyle n\}.}
  • ( 0 , 1 ) 1 , 2 = , {\displaystyle (0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,} ale 0 , 1 1 , 2 = { 1 } {\displaystyle [0,1]\cap [1,2]=\{1\}}
  • n N ( 1 1 n + 1 , 1 + 1 n + 1 ) = { 1 } {\displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }\left(1-{\frac {1}{n+1}},1+{\frac {1}{n+1}}\right)=\{1\}}
  • Niech A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek 2 , 5 ) . {\displaystyle [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).} Wówczas
A = 2 , 5 . {\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].}

Własności | edytuj kod

Operacje skończone | edytuj kod

Dla dowolnych zbiorów A , B , C {\displaystyle A,B,C} zachodzą następujące równości:

  • { A } = A = A A , {\displaystyle \bigcap \{A\}=A=A\cap A,}
  • { A , B } = A B , {\displaystyle \bigcap \{A,B\}=A\cap B,}
  • ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)} [1]     (łączność),
  • A B = B A {\displaystyle A\cap B=B\cap A} [1]     (przemienność),
  • ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) {\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)} oraz ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) {\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)} [14]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
  • C ( A B ) = ( C A ) ( C B ) {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)} oraz C ( A B ) = ( C A ) ( C B ) {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)} [15]     (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • A B {\displaystyle A\subseteq B} wtedy i tylko wtedy, gdy A B = A . {\displaystyle A\cap B=A.}

Operacje nieskończone | edytuj kod

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech { A i : i I } , {\displaystyle \{A_{i}:i\in I\},} { B i : i I } {\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}} oraz { C j , k : j J     k K } {\displaystyle \{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}} będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów I , J , K {\displaystyle I,J,K} są niepuste. Niech D {\displaystyle D} będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

  • i I ( A i B i ) = i I A i i I B i {\displaystyle \bigcap \limits _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})=\bigcap \limits _{i\in I}A_{i}\cap \bigcap \limits _{i\in I}B_{i}} [16]
  • i I A i i I B i i I ( A i B i ) {\displaystyle \bigcap \limits _{i\in I}A_{i}\cup \bigcap \limits _{i\in I}B_{i}\subseteq \bigcap \limits _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})}
  • D i I A i = i I ( A i D ) {\displaystyle D\cap \bigcap \limits _{i\in I}A_{i}=\bigcap \limits _{i\in I}(A_{i}\cap D)} [17]
  • D i I A i = i I ( A i D ) {\displaystyle D\cup \bigcap \limits _{i\in I}A_{i}=\bigcap \limits _{i\in I}(A_{i}\cup D)} [17]
  • D i I A i = i I D A i {\displaystyle D\setminus \bigcap \limits _{i\in I}A_{i}=\bigcup \limits _{i\in I}D\setminus A_{i}} [18]
  • j J k K C j , k = k K j J C j , k {\displaystyle \bigcap \limits _{j\in J}\bigcap \limits _{k\in K}C_{j,k}=\bigcap \limits _{k\in K}\bigcap \limits _{j\in J}C_{j,k}}
  • j J k K C j , k k K j J C j , k {\displaystyle \bigcup \limits _{j\in J}\bigcap \limits _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap \limits _{k\in K}\bigcup \limits _{j\in J}C_{j,k}}

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

( A ) = { A : A A } . {\displaystyle \bigcap (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcap \{\bigcap A:A\in {\mathfrak {A}}\}.}

Na przykład niech A = { A 1 , A 2 } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\},} gdzie A 1 = { A 1 , A 2 } {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{A_{1},A_{2}\}} oraz A 2 = { A 3 , A 4 } . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{A_{3},A_{4}\}.} Wtedy z jednej strony:

( A ) = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } = A 1 A 2 A 3 A 4 , {\displaystyle \bigcap (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcap \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4},}

a z drugiej

{ A : A A } = { A 1 A 2 , A 3 A 4 } = A 1 A 2 A 3 A 4 . {\displaystyle \bigcap \{\bigcap A:A\in {\mathfrak {A}}\}=\bigcap \{A_{1}\cap A_{2},A_{3}\cap A_{4}\}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}.}

Związek z funkcjami | edytuj kod

Dla dowolnej funkcji f : X Y , {\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,} dowolnej rodziny indeksowanej { A i : i I } {\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}} podzbiorów zbioru X {\displaystyle X} oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej { B j : j J } {\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}} podzbiorów zbioru Y , {\displaystyle Y,} zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  • f 1 j J B j = j J f 1 B j {\displaystyle f^{-1}[\bigcap \limits _{j\in J}B_{j}]=\bigcap \limits _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]} [19] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
  • f i I A i i I f A i {\displaystyle f[\bigcap \limits _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap \limits _{i\in I}f[A_{i}]} [20] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym | edytuj kod

 Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego U {\displaystyle U} (tzw. uniwersum) oraz P ( U ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {U} )} jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru U , {\displaystyle U,} to

( P ( U ) , , , , , U ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )}

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór U {\displaystyle U} jest elementem neutralnym operacji części wspólnej . {\displaystyle \cap .}

Zapis

A , {\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}},}

gdy A = {\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing } (tzn. gdy A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[21].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 15.
  2. Kuratowski 1980 ↓, s. 19.
  3. Kuratowski 1980 ↓, s. 20.
  4. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 7.
  5. Leitner 1999 ↓, s. 39.
  6. Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
  7. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.
  8. Rasiowa 1975 ↓, s. 21.
  9. Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.
  10. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 46.
  11. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 47.
  12. Rasiowa 1975 ↓, s. 53.
  13. Kuratowski 1980 ↓, s. 43.
  14. Rasiowa 1975 ↓, s. 17.
  15. Rasiowa 1975 ↓, s. 19.
  16. Rasiowa 1975 ↓, s. 56.
  17. a b Rasiowa 1975 ↓, s. 55.
  18. Rasiowa 1975 ↓, s. 58.
  19. Rasiowa 1975 ↓, s. 81.
  20. Rasiowa 1975 ↓, s. 78.
  21. Guzicki i Zakrzewski 2005 ↓, s. 33.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Część wspólna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy