Długość łuku


Długość łuku w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

Krzywą w przestrzeni euklidesowej można przybliżać łamaną o skończonej liczbie odcinków (można żądać, by ich końce leżały na krzywej; w szczególności, by końce łamanej pokrywały się z końcami krzywej), których długość łatwo obliczyć (np. za pomocą twierdzenia Pitagorasa) – długość całego przybliżenia jest wtedy sumą długości wszystkich odcinków.

Zwiększanie liczby odcinków (o krótszej długości) łamanej umożliwia lepsze przybliżanie krzywej. Długości kolejnych przybliżeń mogą rosnąć nieograniczenie, jednak istnieje klasa krzywych, dla których długości ich przybliżeń dążą do pewnej wartości wraz ze wzrostem liczby i skracaniem długości odcinków łamanej. Jeśli dla danej krzywej istnieje kres górny długości dowolnego jej przybliżenia wielomianowego, to wielkość tę nazywa się długością tej krzywej. Samą krzywą nazywa się wtedy prostowalną albo rektyfikowalną.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech C {\displaystyle C} będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie metrycznej) X . {\displaystyle X.} Istnieje wtedy funkcja ciągła γ : a , b X , {\displaystyle \gamma :[a,b]\to X,} nazywana parametryzacją, której obrazem jest krzywa C . {\displaystyle C.} Oznaczmy dalej γ ( t ) = t {\displaystyle \gamma (t)=t'} oraz długość | t s | {\displaystyle |ts|} odcinka t s {\displaystyle ts} daną jako odległość między punktami t {\displaystyle t} i s . {\displaystyle s.}

Z podziału odcinka a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b {\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b} uzyskujemy skończony zbiór punktów t 0 < t 1 < < t n 1 < t n {\displaystyle t'_{0}<t'_{1}<\ldots <t'_{n-1}<t'_{n}} na krzywej C . {\displaystyle C.} Długość krzywej C {\displaystyle C} wyraża się wtedy wzorem:

L C = sup i = 1 n | t i 1 t i | , {\displaystyle L_{C}=\sup \sum _{i=1}^{n}\left|t'_{i-1}t'_{i}\right|,}

gdzie supremum (kres górny) wzięto po wszystkich podziałach odcinka a b {\displaystyle ab} oraz n . {\displaystyle n.}

Dowodzi się, że wartość L C {\displaystyle L_{C}} nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli jest ona skończona, to krzywą C {\displaystyle C} nazywa się prostowalną (lub rektyfikowalną) i nieprostowalną (lub nierektyfikowalną) w przeciwnym przypadku.

Przypadki szczególne | edytuj kod

Jeśli γ {\displaystyle \gamma } spełnia warunek Lipschitza, to jest ona prostowalna. Wówczas można zdefiniować wielkość

s ( p ) = lim sup t p | t p | | t p | , {\displaystyle s(p)=\limsup _{t\to p}{\frac {|t'p'|}{|tp|}},}

dzięki której można wyrazić długość krzywej C {\displaystyle C} sparametryzowanej za pomocą γ {\displaystyle \gamma } wzorem:

L C = a b s ( t ) . {\displaystyle L_{C}=\int _{a}^{b}s(t).}

Jeśli γ {\displaystyle \gamma } jest różniczkowalna, to długość krzywej C {\displaystyle C} wyraża się wzorem:

L C = a b | d γ ( t ) | = a b 1 + ( d γ ( t ) ) 2 . {\displaystyle L_{C}=\int _{a}^{b}|d\gamma (t)|=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(d\gamma (t))^{2}}}.}

Jeżeli krzywa płaska sparametryzowana jest w kartezjańskim układzie współrzędnych XY równaniami x = f ( t ) {\displaystyle x=f(t)} oraz y = g ( t ) , {\displaystyle y=g(t),} gdzie funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} są gładkie, to długość tej krzywej opisuje wzór:

L C = a b ( d x ( t ) ) 2 + ( d y ( t ) ) 2 . {\displaystyle L_{C}=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx(t))^{2}+(dy(t))^{2}}}.}

We współrzędnych biegunowych r = h ( θ ) {\displaystyle r=h(\theta )} powyższy wzór przyjmuje postać

L C = a b r 2 + ( d r ( θ ) 2 ) . {\displaystyle L_{C}=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+(dr(\theta )^{2})}}.}

Przykład | edytuj kod

Długość łuku cykloidy opisanej równaniem parametrycznym:

{ x ( t ) = a ( t sin t ) y ( t ) = a ( 1 cos t ) , {\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a(t-\sin {t})\\y(t)=a(1-\cos {t})\end{cases}},}

wynosi 8a gdzie a > 0 {\displaystyle a>0} jest ustalone oraz t 0 , 2 π . {\displaystyle t\in [0,2\pi ].}

Dowód. Obliczamy pochodne:

{ x ( t ) = a ( 1 cos t ) y ( t ) = a sin t . {\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=a(1-\cos {t})\\y'(t)=a\sin {t}\end{cases}}.}

Podstawiamy do wzoru:

L = t 1 t 2 ( x ( t ) ) 2 + ( y ( t ) ) 2 d t , {\displaystyle L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\;{\mbox{d}}t,}

skąd

L = 0 2 π a ( 1 cos t ) 2 + a sin t 2 d t = 0 2 π a 2 ( 1 cos t ) 2 + a 2 sin 2 t d t = a 0 2 π 1 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t d t = a 0 2 π 1 2 cos t + 1 d t = a 0 2 π 2 2 cos t d t = a 0 2 π 2 ( 1 cos t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {[a(1-\cos {t})]^{2}+[a\sin {t}]^{2}}}\;{\mbox{d}}t=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}(1-\cos {t})^{2}+a^{2}\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t\\&=a\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+\cos ^{2}{t}+\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t=a\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+1}}\;{\mbox{d}}t\\&=a\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos {t}}}\;{\mbox{d}}t=a\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos {t})}}\;{\mbox{d}}t.\end{aligned}}}

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego

1 cos t = 2 sin 2 t 2 , {\displaystyle 1-\cos {t}=2\sin ^{2}{\frac {t}{2}},}

dochodzimy do równości

L = a 0 2 π 4 sin 2 t 2 d t = 2 a 0 2 π | sin t 2 | d t . {\displaystyle L=a\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {4\sin ^{2}{\frac {t}{2}}}}\;{\mbox{d}}t=2a\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigg |}\sin {\frac {t}{2}}{\bigg |}\;{\mbox{d}}t.}

Ze względu na to, iż w granicach całkowania t 0 , 2 π {\displaystyle t\in [0,2\pi ]} wyrażenie sin t / 2 {\displaystyle t/2} jest nieujemne, otrzymujemy ostatecznie równość

L = 2 a 0 2 π sin t 2 d t = 2 a ( 2 cos t 2 ) | 0 2 π = 8 a . {\displaystyle L=2a\int \limits _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\;{\mbox{d}}t=2a\left(-2\cos {\frac {t}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }=8a.}

Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się okręgu.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Długość łuku" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy