Dwunastościan


Dwunastościan foremny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Dwunastościan) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Dwunastościan foremny Dwunastościan foremny Przykładowa siatka dwunastościanu foremnego

Dwunastościan foremny (dodekaedr) – wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Bryła oznaczona jest symbolem Schläfliego {5,3}[1][2]

Wzory i właściwości | edytuj kod

Pole powierzchni całkowitej dwunastościanu foremnego o krawędzi długości a {\displaystyle a\,} :

S = 3   a 2   5 ( 5 + 2 5 ) 20 , 6457   a 2 {\displaystyle S=3~a^{2}~{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20,6457~a^{2}} [1][2]

Objętość:

  • V = 1 4   a 3   ( 15 + 7 5 ) 7 , 6613   a 3 {\displaystyle V={\frac {1}{4}}~a^{3}~(15+7{\sqrt {5}})\approx 7,6613~a^{3}} [1][2]
  • Apoloniusz z Pergi wykazał, że jeśli promień okręgu wpisanego dwudziestościanu jest taki sam jak dwunastościanu foremnego, to
V d w u d z i e s t o s c i a n u V d w u n a s t o s c i a n u   f o r e m n e g o = A d w u d z i e s t o s c i a n u A d w u n a s t o s c i a n u   f o r e m n e g o {\displaystyle {\frac {V_{dwudziestoscianu}}{V_{dwunastoscianu\ foremnego}}}={\frac {A_{dwudziestoscianu}}{A_{dwunastoscianu\ foremnego}}}} = ( 3 10 ( 5 5 ) ) {\displaystyle =\surd ({\frac {3}{10}}(5-\surd 5))} [1]

Promień kuli wpisanej:

r = a 20 10 ( 25 + 11 5 ) 1 , 1135   a {\displaystyle r={\frac {a}{20}}{\sqrt {10(25+11{\sqrt {5}})}}\approx 1,1135~a} [1][2]

Promień kuli stycznej do krawędzi:

δ = a ( 3 + 5 ) 4 {\displaystyle \delta ={\frac {a(3+{\sqrt {5}})}{4}}} [1][2]

Promień kuli opisanej:

R = a 4   3   ( 1 + 5 ) 1 , 4013   a {\displaystyle R={\frac {a}{4}}~{\sqrt {3}}~(1+{\sqrt {5}})\approx 1,4013~a} [1][2]

Kąt między sąsiednimi ścianami:

α = cos 1 ( 5 5 ) 116 , 6 {\displaystyle \alpha =\cos ^{-}1(-{\frac {\sqrt {5}}{5}})\approx 116,6^{\circ }} [1][2]

Grupa symetrii:

Ih[1]

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h i Eric W. Weisstein, „Regular Dodecahedron” na MathWorld.
  2. a b c d e f g Geometria 3d | Portal matematyczny |Dwunastościan foremny - dodekaedr, geometria-3d.pl [dostęp 2017-06-18]  (ang.).

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Dwunastościan" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy