Funkcja ciągła


Funkcja ciągła w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja ciągłafunkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:

  1. funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
  2. funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych.

Spis treści

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej | edytuj kod

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości:

  • Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter ε {\displaystyle \varepsilon } oraz δ {\displaystyle \delta } w definicji;
  • Heinego – podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.

Niech M R {\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} } oraz f : M R . {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} .}

Definicje | edytuj kod

Definicja Cauchy’ego | edytuj kod

Funkcja f {\displaystyle f} jest ciągła w punkcie x 0 M {\displaystyle x_{0}\in M} wtedy i tylko wtedy gdy:

ε > 0 δ > 0 x M     | x 0 x | < δ | f ( x 0 ) f ( x ) | < ε , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in M}\ \ |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon ,}

Definicja Heinego | edytuj kod

Funkcja jest ciągła w punkcie x 0 M , {\displaystyle x_{0}\in M,} wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} liczb z M , {\displaystyle M,} który jest zbieżny do x 0 , {\displaystyle x_{0},} ciąg wartości ( f ( x n ) ) {\displaystyle {\big (}f(x_{n}){\big )}} jest zbieżny do f ( x 0 ) , {\displaystyle f(x_{0}),} czyli

( x n ) M     x n x 0 f ( x n ) f ( x 0 ) , {\displaystyle \forall _{(x_{n})\subset M}\ \ x_{n}\to x_{0}\Rightarrow f(x_{n})\to f(x_{0}),}

Jeżeli funkcja f {\displaystyle f} spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego x M , {\displaystyle x\in M,} to jest ona ciągła na zbiorze M {\displaystyle M} odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.

Uwagi do definicji | edytuj kod

Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja f {\displaystyle f} jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru M . {\displaystyle M.}

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru

ε > 0 δ > 0 x 1 , x 2 M | x 1 x 2 | < δ | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | < ε , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in M}\;|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon ,}

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej[a].

Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna | edytuj kod

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla x , {\displaystyle x,} mianowicie x < x 0 , {\displaystyle x<x_{0},} aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do x 0 {\displaystyle x_{0}} wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady | edytuj kod

Rozpatrujemy funkcje : R R . {\displaystyle \cdot \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}

  • Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji : C C {\displaystyle \cdot \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ).
  • Funkcja dana wzorem
f ( x ) = { sin x x dla  x 0 1 dla  x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\tfrac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\[2pt]\;1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}} jest ciągła.
  • Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem: R { 0 } . {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}.}
  • Funkcja Dirichleta D {\displaystyle D} jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
    • Funkcja D 1 ( x ) = x D ( x ) {\displaystyle D_{1}(x)=x\cdot D(x)} jest ciągła wyłącznie w punkcie x = 0. {\displaystyle x=0.}
    • Funkcja D Z = sin ( x π ) D ( x ) {\displaystyle D_{\mathbb {Z} }=\sin(x\pi )\cdot D(x)} jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
  • Funkcja Riemanna R {\displaystyle R} jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Własności | edytuj kod

  • Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, f : a , b R , {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,} to na dziedzinie:
  1. jest jednostajnie ciągła,
  2. przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
  3. ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych | edytuj kod

Definicje | edytuj kod

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} oraz ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} funkcja f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest ciągła w punkcie x 0 X , {\displaystyle x_{0}\in X,} jeśli prawdziwe jest zdanie

ε > 0 δ > 0 x X d X ( x 0 , x ) < δ d Y ( f ( x 0 ) , f ( x ) ) < ε . {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in X}\;d_{X}(x_{0},x)<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x_{0}),f(x))<\varepsilon .}

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

ε > 0 δ > 0 f ( B X ( x 0 , δ ) ) B Y ( f ( x 0 ) , ε ) {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;f(B_{X}(x_{0},\delta ))\subseteq B_{Y}(f(x_{0}),\varepsilon )} albo ε > 0 δ > 0 B X ( x 0 , δ ) f 1 ( B Y ( f ( x 0 ) , ε ) ) , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;B_{X}(x_{0},\delta )\subseteq f^{-1}{\big (}B_{Y}(f(x_{0}),\varepsilon ){\big )},}

gdzie B X ,   B Y {\displaystyle B_{X},\ B_{Y}} oznaczają kule otwarte odpowiednio w X {\displaystyle X} oraz Y ; {\displaystyle Y;} x 0 , δ {\displaystyle x_{0},\delta } oznaczają środek i promień kuli B X {\displaystyle B_{X}} (analogicznie jest dla kuli B Y {\displaystyle B_{Y}} ).

Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} w sensie Heinego jest:

( x n ) X     d X ( x n , x 0 ) 0 d Y ( f ( x n ) , f ( x 0 ) ) 0. {\displaystyle \forall _{(x_{n})\subset X}\ \ d_{X}(x_{n},x_{0})\to 0\Rightarrow d_{Y}(f(x_{n}),f(x_{0}))\to 0.}

Przykłady | edytuj kod

  • Dwuargumentowe działania algebraiczne C 2 C {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} } zdefiniowane f ( a , b ) = a + b ,   g ( a , b ) = a b {\displaystyle f(a,b)=a+b,\ g(a,b)=ab} dla a , b C . {\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}
    Zbiór liczb zespolonych C {\displaystyle \mathbb {C} } jest przestrzenią metryczną w metryką d C ( a , b ) = | a b | , {\displaystyle d_{\mathbb {C} }(a,b)=|a-b|,}
    zbiór par liczb zespolonych C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} jest przestrzenią metryczną w metryką d C ( ( a , b ) , ( c , d ) ) = max ( | a c | , | b d | ) , {\displaystyle d_{\mathbb {C} }((a,b),(c,d))=\max(|a-c|,|b-d|),}
    gdzie | . | {\displaystyle |.|} oznacza moduł liczby zespolonej.
  • Jednoargumentowe działanie algebraiczne C C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } zdefiniowane f ( a ) = a 1 {\displaystyle f(a)=a^{-1}} dla a C { 0 } . {\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}
  • Jednoargumentowe działanie C C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } zdefiniowane f ( a ) = a ¯ {\displaystyle f(a)={\overline {a}}} dla a C . {\displaystyle a\in \mathbb {C} .}
  • Metryka naturalna S n × S n R {\displaystyle S^{n}\times S^{n}\to \mathbb {R} } na sferze S n , {\displaystyle S^{n},} zdefiniowana formalnie jako d S n ( a , b ) = arccos ( a b a b ) , {\displaystyle d_{S^{n}}(a,b)=\arccos \left({\tfrac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}\right),} czyli jako kąt między niezerowymi wektorami a , b E n + 1 {\displaystyle a,b\in E^{n+1}}

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych | edytuj kod

Definicja | edytuj kod

Ciągłość funkcji w punkcie x : {\displaystyle x{:}} dla otoczenia V {\displaystyle V} punktu f ( x ) {\displaystyle f(x)} możemy znaleźć otoczenie U {\displaystyle U} punktu x {\displaystyle x} takie, że f ( U ) {\displaystyle f(U)} jest zawarte w V . {\displaystyle V.}

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[1].

Niech ( X , τ X ) {\displaystyle (X,\tau _{X})} oraz ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest ciągła w punkcie x X , {\displaystyle x\in X,} jeżeli dla każdego otoczenia V Y {\displaystyle V\subseteq Y} punktu f ( x ) {\displaystyle f(x)} istnieje otoczenie U {\displaystyle U} punktu x {\displaystyle x} takie, że jego obraz f ( U ) {\displaystyle f(U)} zawiera się w V {\displaystyle V} (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie X ,   Y {\displaystyle X,\ Y} metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi | edytuj kod

W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech ( X , τ X ) {\displaystyle (X,\tau _{X})} i ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} będą przestrzeniami topologicznymi oraz f : X Y . {\displaystyle f\colon X\to Y.}

Aby sprawdzić ciągłość funkcji f , {\displaystyle f,} nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.

  • Można zbadać dla pewnej bazy B {\displaystyle {\mathcal {B}}} tej przestrzeni: funkcja f {\displaystyle f} jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego U B {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}} jest otwarty, tj. należy do topologii f 1 ( U ) τ X . {\displaystyle f^{-1}(U)\in \tau _{X}.}
  • Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja f {\displaystyle f} jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
    • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w Y {\displaystyle Y} jest domknięty w X ; {\displaystyle X;}
    • dla każdego zbioru A X {\displaystyle A\subseteq X} spełniony jest warunek
      f ( cl A ) cl f ( A ) , {\displaystyle f(\operatorname {cl} \;A)\subseteq \operatorname {cl} \;f(A),}
      gdzie cl A {\displaystyle \operatorname {cl} \;A} oznacza domknięcie zbioru A ; {\displaystyle A;}
    • dla każdego zbioru B Y {\displaystyle B\subseteq Y} spełniony jest warunek
cl f 1 ( B ) f 1 ( cl B ) . {\displaystyle \operatorname {cl} \;f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} \;B).}

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest funkcją ciągłą oraz X {\displaystyle X} ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz f ( X ) : {\displaystyle f(X){:}}

Jeśli zbiór D {\displaystyle D} jest gęsty w X , {\displaystyle X,} a f , g : X Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} są ciągłe oraz f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} dla każdego x D , {\displaystyle x\in D,} to f = g . {\displaystyle f=g.}

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi | edytuj kod

Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} w inną przestrzeń Y {\displaystyle Y} jest oznaczana symbolem C ( X , Y ) . {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y).} Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień C ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )} o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z X {\displaystyle X} w R {\displaystyle \mathbb {R} } i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni ( X , τ X ) . {\displaystyle (X,\tau _{X}).}

Na przestrzeni C ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )} rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej
zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie x X   R ; {\displaystyle \prod _{x\in X}~\mathbb {R} ;}
zbieżności jednostajnej
w której bazą otoczeń punktu f C ( X ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X)} jest { U n ( f ) :   n = 1 , 2 , 3 , } , {\displaystyle \{U_{n}(f)\colon \ n=1,2,3,\dots \},} gdzie U n ( f ) = { g C ( X ) :   x X | f ( x ) g ( x ) | < 1 n } . {\displaystyle U_{n}(f)=\left\{g\in {\mathcal {C}}(X)\colon \ \forall _{x\in X}\;|f(x)-g(x)|<{\tfrac {1}{n}}\right\}.}

Ciągłość funkcji w terminach teoriomnogościowych | edytuj kod

Niech ( A , A ) {\displaystyle (A,\leqslant _{A})} oraz ( B , B ) {\displaystyle (B,\leqslant _{B})} będą porządkami zupełnymi.

Funkcja f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego X A {\displaystyle X\subseteq A} zachodzi f ( sup X ) = sup f ( X ) . {\displaystyle f(\sup X)=\sup f(X).}

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Należy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach: x 0 M ε > 0 δ > 0 x M | x 0 x | < δ | f ( x 0 ) f ( x ) | < ε , {\displaystyle \forall _{x_{0}\in M}\;\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in M}\;|x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon ,} ε > 0 δ > 0 x 0 M x M | x 0 x | < δ | f ( x 0 ) f ( x ) | < ε , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{0}\in M}\;\forall _{x\in M}\;|x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon ,} Pierwszy z nich stwierdza ciągłość funkcji w sensie Cauchy’ego na zbiorze M , {\displaystyle M,} drugi stwierdza jednostajną ciągłość funkcji na zbiorze M . {\displaystyle M.}

Przypisy | edytuj kod

  1. T. Trajdos, Matematyka cz. III, Podręczniki akademickie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, s. 332.

Bibliografia | edytuj kod

  • T. Trajdos, Matematyka cz. III, Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
Na podstawie artykułu: "Funkcja ciągła" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy