Funkcja wykładnicza


Funkcja wykładnicza w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja wykładniczafunkcja postaci:

f ( x ) = a x , {\displaystyle f(x)=a^{x},} gdzie a > 0. {\displaystyle a>0.}

Niektórzy autorzy[1] wymagają, aby podstawa a {\displaystyle a} funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla a = 1 {\displaystyle a=1} funkcja a x {\displaystyle a^{x}} jest funkcją stałą.

Spis treści

Własności | edytuj kod

  • a x + y = a x a y , {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},}
  • a x y = a x a y . {\displaystyle a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}.}
  • Dla a > 1 {\displaystyle a>1} funkcja wykładnicza o podstawie a {\displaystyle a} jest rosnąca, dla 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} malejąca. Jeśli a = 1 {\displaystyle a=1} to funkcja f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} jest stała.
  • Pochodna funkcji wykładniczej to:
( a x ) = lim Δ x 0 a x + Δ x a x Δ x = lim Δ x 0 a x a Δ x 1 Δ x = a x lim Δ x 0 a Δ x 1 Δ x = a x ln a . {\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\ln a.}

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla a = e {\displaystyle a=e} mamy

( e x ) = e x . {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}
  • Funkcja wykładnicza o podstawie a > 1 {\displaystyle a>1} jest (przy argumencie dążącym do + {\displaystyle +\infty } ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna | edytuj kod

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej e {\displaystyle e} (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)} (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:

x ˙ = x {\displaystyle {\dot {x}}=x}

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

exp ( x ) = lim n ( 1 + x n ) n . {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.}

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: n = 0 x n n ! . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}

Wykres funkcji y = e x {\displaystyle y=e^{x}} :

Płaszczyzna zespolona | edytuj kod

Wykres e z {\displaystyle e^{z}} na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

e z = n = 0 z n n ! . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}

Jest to funkcja okresowa z okresem 2 π i {\displaystyle 2\pi i} i można ją zapisać jako:

e a + b i = e a ( cos b + i sin b ) , {\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),}

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

  • e z + w = e z e w , {\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w},}
  • e 0 = 1 , {\displaystyle e^{0}=1,}
  • e z 0 , {\displaystyle e^{z}\neq 0,}
  • d d z e z = e z , {\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},}
  • ( e z ) n = e n z , n Z {\displaystyle (e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania | edytuj kod

Matematyka | edytuj kod

Inne dziedziny | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: PWN, 1978. s. 87.


Na podstawie artykułu: "Funkcja wykładnicza" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy