Holomorficzność nieskończeniewymiarowa


Holomorficzność nieskończeniewymiarowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Spis treści

Funkcje holomorficzne o wartościach wektorowych na płaszczyźnie zespolonej | edytuj kod

Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję f : U X {\displaystyle f\colon U\to X} określoną na podzbiorze otwartym U {\displaystyle U} płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha X {\displaystyle X} nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu z U {\displaystyle z\in U} istnieje granica

f ( z ) = lim ζ z   f ( ζ ) f ( z ) ζ z . {\displaystyle f'(z)=\lim _{\zeta \to z}~{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.}

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej f : U X {\displaystyle f\colon U\to X} o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej γ : a , b U {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to U} można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

1 k n f ( γ ( t k ) ) ( γ ( t k ) γ ( t k 1 ) ) , {\displaystyle \sum _{1\leqslant k\leqslant n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})),}

gdzie a = t 0 < t 1 < < t n = b {\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b} jest podziałem przedziału a , b , {\displaystyle [a,b],} przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy’ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli f : U X {\displaystyle f\colon U\to X} jest taką funkcją i T : X C {\displaystyle T\colon X\to \mathbb {C} } jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

T ( γ f ( z ) d z ) = γ ( T f ) ( z ) d z . {\displaystyle T\left(\int _{\gamma }f(z)\,\operatorname {d} z\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,\operatorname {d} z.}

Więcej, złożenie funkcji T f : U C {\displaystyle T\circ f\colon U\to \mathbb {C} } jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w U , {\displaystyle U,} całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy’ego. Zatem, ponieważ T {\displaystyle T} jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

γ f ( z ) d z = 0 , {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\operatorname {d} z=0,}

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy’ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy’ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji f : U X {\displaystyle f\colon U\to X} jest, że T f : U C {\displaystyle T\circ f\colon U\to \mathbb {C} } jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego T : X C . {\displaystyle T\colon X\to \mathbb {C} .} Taka funkcja f {\displaystyle f} jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami Banacha | edytuj kod

Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego U {\displaystyle U} w X {\displaystyle X} funkcję f : U Y {\displaystyle f\colon U\to Y} nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie U {\displaystyle U} istnieje pochodna Frécheta funkcji f . {\displaystyle f.} W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżności[1].

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami liniowo-topologicznymi | edytuj kod

W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego U {\displaystyle U} w X {\displaystyle X} istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji f : U Y . {\displaystyle f\colon U\to Y.} W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy X {\displaystyle X} oraz Y {\displaystyle Y} są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} lokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność w sensie Gâteaux | edytuj kod

Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a U X {\displaystyle U\subseteq X} będzie zbiorem otwartym. Funkcja f : U Y {\displaystyle f\colon U\to Y} jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych a U {\displaystyle a\in U} oraz b X {\displaystyle b\in X} i każdego ciągłego funkcjonału liniowego φ {\displaystyle \varphi } określonego na Y {\displaystyle Y} funkcja

f ϕ ( z ) = ϕ f ( a + z b ) {\displaystyle f_{\phi }(z)=\phi \circ f(a+zb)}

jest funkcją holomorficzną zmiennej z {\displaystyle z} w otoczeniu z = 0. {\displaystyle z=0.} Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem H G ( U , Y ) . {\displaystyle \operatorname {H_{G}} (U,Y).}

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach X {\displaystyle X} skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady
  • Jeżeli f {\displaystyle f} jest określona na U , {\displaystyle U,} to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla x U {\displaystyle x\in U} oraz h 1 , , h k X {\displaystyle h_{1},\dots ,h_{k}\in X} pochodna Gâteaux k {\displaystyle k} -tego rzędu D k f ( x ) { h 1 , , h k } {\displaystyle \operatorname {D} ^{k}f(x)\{h_{1},\dots ,h_{k}\}} zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki h i , {\displaystyle h_{i},} która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem h i , {\displaystyle h_{i},} ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni X . {\displaystyle X.}
  • Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora: f ( x + y ) = n = 0 1 n ! D ^ n f ( x ) ( y ) . {\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {\operatorname {D} }}^{n}f(x)(y).}
Symbol D ^ n f ( x ) ( y ) {\displaystyle {\widehat {\operatorname {D} }}^{n}f(x)(y)} oznacza wielomian jednorodny stopnia n {\displaystyle n} zmiennej y {\displaystyle y} związanej z operatorem wieloliniowym D n f ( x ) . {\displaystyle \operatorname {D} ^{n}f(x).} Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli V X {\displaystyle V\subseteq X} jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach 0 Y , {\displaystyle 0\in Y,} jednak jeżeli V {\displaystyle V} może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.
  • dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie:
Jeżeli f : ( U X 1 ) × ( V X 2 ) Y {\displaystyle f\colon (U\subseteq X_{1})\times (V\subseteq X_{2})\to Y} jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy f {\displaystyle f} jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

Hipoanalityczność | edytuj kod

Funkcja f : ( U X ) Y {\displaystyle f\colon (U\subseteq X)\to Y} jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli f H G ( U , Y ) {\displaystyle f\in \operatorname {H_{G}} (U,Y)} oraz f {\displaystyle f} jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach U . {\displaystyle U.}

Holomorficzność | edytuj kod

Funkcja f H G ( U , Y ) {\displaystyle f\in \operatorname {H_{G}} (U,Y)} jest holomorficzna, jeżeli dla każdego x U {\displaystyle x\in U} rozwinięcie w szereg Taylora

f ( x + y ) = n = 0 1 n ! D ^ n f ( x ) ( y ) {\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {\operatorname {D} }}^{n}f(x)(y)}

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem y {\displaystyle y} w otoczeniu 0 X . {\displaystyle 0\in X.} Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem H ( U , Y ) . {\displaystyle \operatorname {H} (U,Y).}

Holomorficzność lokalnie ograniczona | edytuj kod

O funkcji f : ( U X ) Y {\displaystyle f\colon (U\subseteq X)\to Y} mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt U {\displaystyle U} ma otoczenie, którego obraz względem f {\displaystyle f} jest ograniczony w Y . {\displaystyle Y.} Jeżeli f {\displaystyle f} jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na U , {\displaystyle U,} to f {\displaystyle f} jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się f H L B ( U , Y ) . {\displaystyle f\in \operatorname {H_{LB}} (U,Y).}

Przypisy | edytuj kod

  1. Lawrence A. Harris, Twierdzenie o punkcie stałym dla nieskończeniewymiarowych funkcji holomorficznych.

Bibliografia | edytuj kod

  • Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. ​ISBN 0-8218-0819-2​. (zob. rozdział 3.3.)
  • Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. ​ISBN 0-8247-7231-8​.
Na podstawie artykułu: "Holomorficzność nieskończeniewymiarowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy