Iloczyn kartezjański


Iloczyn kartezjański w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania ×

Iloczyn kartezjański – dla danych zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} zbiór wszystkich takich par uporządkowanych ( a , b ) , {\displaystyle (a,b),} że a {\displaystyle a} należy do zbioru A {\displaystyle A} i b {\displaystyle b} należy do zbioru B {\displaystyle B} [1][2]. Iloczyn kartezjański zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} oznacza się symbolem A × B {\displaystyle A\times B} [3][2].

Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są za pomocą uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) – elementy iloczynu kartezjańskiego R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } można zatem utożsamiać z punktami na płaszczyźnie[4]. Jednak w ogólności elementy zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} nie muszą być liczbami, mogą być dowolnymi obiektami matematycznymi.

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Iloczynem kartezjańskim zbiorów X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} nazywamy zbiór

X × Y := { ( x , y ) : x X y Y } {\displaystyle X\times Y:=\left\{(x,y)\colon x\in X\;\wedge \;y\in Y\right\}} [a]

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie A × B × C {\displaystyle A\times B\times C} to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} takich, że a A , {\displaystyle a\in A,} b B , {\displaystyle b\in B,} c C . {\displaystyle c\in C.} Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich[5][6], to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} w zbiór A B C . {\displaystyle A\cup B\cup C.} Przy drugim[7] jako A × B × C {\displaystyle A\times B\times C} bierze się A × ( B × C ) , {\displaystyle A\times (B\times C),} a zatem trójka to para par: ( a , ( b , c ) ) . {\displaystyle (a,(b,c)).} Formalnie zbiór A × B × C {\displaystyle A\times B\times C} zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór A × ( B × C ) {\displaystyle A\times (B\times C)} nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia[b][8][9].

Podobnie A × B × C × D {\displaystyle A\times B\times C\times D} można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a,b,c,d)} takich, że a A , {\displaystyle a\in A,} b B , {\displaystyle b\in B,} c C , {\displaystyle c\in C,} d D . {\displaystyle d\in D.} Czwórki te można interpretować dwojako:

  • jako funkcje z { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,2,3,4\}} w zbiór A B C D , {\displaystyle A\cup B\cup C\cup D,}
  • jako pary par { a , { b , { c , d } } } , {\displaystyle \{a,\{b,\{c,d\}\}\},} wówczas iloczyn A × B × C × D {\displaystyle A\times B\times C\times D} określa się jako A × ( B × ( C × D ) ) . {\displaystyle A\times (B\times (C\times D)).}

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Przykłady | edytuj kod

Niech dane będą zbiory A = { x , y } {\displaystyle A=\{x,y\}} oraz B = { 1 , 2 , 3 } . {\displaystyle B=\{1,2,3\}.} Iloczyn kartezjański zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} zgodnie z definicją jest równy:

A × B = { ( x , 1 ) , ( y , 1 ) , ( x , 2 ) , ( y , 2 ) , ( x , 3 ) , ( y , 3 ) } . {\displaystyle A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.}

Zbiór R n = R × R × × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dots \times \mathbb {R} } służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Uogólniony produkt kartezjański | edytuj kod

Dla rodziny zbiorów { A i : i I } {\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}} można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji[10]

f : I i I A i , {\displaystyle f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i},}

takich że f ( i ) A i {\displaystyle f(i)\in A_{i}} dla każdego i I {\displaystyle i\in I} nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów { A i : i I } {\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}} i oznacza takimi symbolami jak

i I A i , {\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},} × i I A i {\displaystyle {\underset {i\in I}{\times }}A_{i}} lub P i I A i . {\displaystyle {\underset {i\in I}{\operatorname {P} }}\;A_{i}.}

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Istnieje kilka nierównoważnych definicji par uporządkowanych. Najczęściej przyjmowana jest definicja Kuratowskiego, przy której ( x , y ) = { { x } , { x , y } } . {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}.} Ponieważ { x } X Y {\displaystyle \{x\}\subseteq X\cup Y} i { x , y } X Y {\displaystyle \{x,y\}\subseteq X\cup Y} dla x X , y Y , {\displaystyle x\in X,y\in Y,} więc { x } P ( X Y ) {\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)} i { x , y } P ( X Y ) , {\displaystyle \{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),} gdzie P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} oznacza zbiór potęgowy zbioru X , {\displaystyle X,} a stąd wynika, że ( x , y ) P ( P ( X Y ) ) . {\displaystyle (x,y)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}
  2. Zbiory A × B × C , {\displaystyle A\times B\times C,} A × ( B × C ) {\displaystyle A\times (B\times C)} i ( A × B ) × C {\displaystyle (A\times B)\times C} nie są równe, bowiem mają różne elementy, ale są między nimi oczywiste, kanoniczne bijekcje. S. Eilenberg i S. Mac Lane (General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, 58 (1945), s. 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf) pokazali, że te bijekcje są transformacjami naturalnymi odpowiednich funktorów.

Przypisy | edytuj kod

  1. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 52.
  2. a b Rasiowa 1975 ↓, s. 60.
  3. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 53.
  4. Waliszewski (red.) 1988 ↓, s. 42.
  5. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 56.
  6. Rasiowa 1975 ↓, s. 71.
  7. K. Kuratowski i A. Mostowski, Teoria mnogości, wyd. trzecie zmienione, PWN, Warszawa 1978, s. 84.
  8. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 73.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 72.
  10. Rasiowa 1975 ↓, s. 70.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Iloczyn kartezjański" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy