Koniunkcja (logika)


Koniunkcja (logika) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Koniunkcjazdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: p q {\displaystyle p\,\land \,q\,\!} . Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p1 i ... i pn. Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q[1][2]. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2]. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech B {\displaystyle \mathbb {B} } będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: B = { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}} . Koniunkcja : B × B B {\displaystyle \land \,:\mathbb {B} \times \mathbb {B} \rightarrow \mathbb {B} } jest funkcją dwuargumentową ze zbioru B × B {\displaystyle \mathbb {B} \times \mathbb {B} } w zbiór B {\displaystyle \mathbb {B} } [a], określoną następująco:

p q = min ( p , q ) {\displaystyle p\land q=\min(p,q)} [3]

lub równoważnie

p q = p q {\displaystyle p\land q=p\cdot q} [1][3].

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2].

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

Oznaczenia | edytuj kod

Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów[4][5]:

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności | edytuj kod

 Osobny artykuł: prawa rachunku zdań.

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:

p q q p {\displaystyle p\,\land \,q\,\Leftrightarrow \,q\,\land \,p\,\!} [6][7] p ( q r ) ( p q ) r {\displaystyle p\,\land \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\land \,r\,\!} [6][7] p p p {\displaystyle p\,\land \,p\,\Leftrightarrow \,p} [8] p ( q r ) ( p q ) ( p r ) {\displaystyle p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)} p ( q r ) ( p q ) ( p r ) {\displaystyle p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)} [6][7] ¬ ( p q ) ( ¬ p ¬ q ) {\displaystyle \neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)} ¬ ( p q ) ( ¬ p ¬ q ) {\displaystyle \neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)} [9] Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji[10].

Przykłady | edytuj kod

  • Koniunkcja ( 2 + 2 = 4 ) ( 3 + 1 = 5 ) {\displaystyle (2+2=4)\wedge (3+1=5)} jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
  • Koniunkcja ( 2 + 2 = 4 ) ( 3 + 1 = 4 ) {\displaystyle (2+2=4)\wedge (3+1=4)} jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
  • Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” - Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
  • Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” - Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)

Koniunkcja binarna | edytuj kod

Uproszczony schemat bramki logicznej AND.

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:

14 & 4 =       = 0001110 & 0000100 =   (liczby w systemie binarnym) = 0000100 =    (efekt operacji na kolejnych cyfrach) = 4     (wynik w postaci dziesiętnej)

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny | edytuj kod

Symbol {\displaystyle \land } odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon[11].

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż[12]. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty[11].

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że koniunkcja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Mostowski 1948 ↓, s. 8.
  2. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 163.
  3. a b Ross i Wright 1996 ↓, s. 588.
  4. Mostowski 1948 ↓, s. 13.
  5. Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
  6. a b c Mostowski 1948 ↓, s. 28.
  7. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 196.
  8. Mostowski 1948 ↓, s. 29.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 195.
  10. Mostowski 1948 ↓, s. 27.
  11. a b Strawson 1952 ↓, s. 80.
  12. Kleene 1967 ↓, s. 64.

Bibliografia | edytuj kod

  1. Stephen C. Kleene: Mathematical logic. New York: Wiley, 1967. OCLC 523472.
  2. Andrzej Stanisław Mostowski: Logika matematyczna. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
  3. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  4. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
  5. Peter F. Strawson: Introduction to logical theory. London: Methuen, 1952. OCLC 373139.
Na podstawie artykułu: "Koniunkcja (logika)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy