Obraz i przeciwobraz


Obraz i przeciwobraz w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obrazzbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru X {\displaystyle X} w zbiór Y . {\displaystyle Y.}

Obraz elementu | edytuj kod

Jeżeli x {\displaystyle x} jest elementem X , {\displaystyle X,} to f ( x ) = y , {\displaystyle f(x)=y,} czyli wartość funkcji f {\displaystyle f} na elemencie x , {\displaystyle x,} nazywa się obrazem x {\displaystyle x} poprzez f . {\displaystyle f.}

Obraz zbioru | edytuj kod

Obrazem zbioru A X {\displaystyle A\subseteq X} w funkcji f {\displaystyle f} nazywa się podzbiór f A Y {\displaystyle f[A]\subseteq Y} wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór { y Y : f ( x ) = y  dla pewnego  x A } = { f ( x ) Y : x A } . {\displaystyle \left\{y\in Y\colon f(x)=y{\text{ dla pewnego }}x\in A\right\}=\left\{f(x)\in Y\colon x\in A\right\}.} Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast f A {\displaystyle f[A]} pisze się f ( A ) . {\displaystyle f(A).} Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez f {\displaystyle f} jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru X , {\displaystyle X,} a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru Y . {\displaystyle Y.}

Obraz funkcji | edytuj kod

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f. Obraz f X {\displaystyle f[X]} całej dziedziny X {\displaystyle X} nazywa się zwykle obrazem funkcji f . {\displaystyle f.} Do innych oznaczeń należą również f ( X ) {\displaystyle f(X)} (j.w.), im ( f ) {\displaystyle \operatorname {im} (f)} (ang. image – obraz).

Przeciwobraz | edytuj kod

Przeciwobrazem zbioru B Y {\displaystyle B\subseteq Y} względem f {\displaystyle f} nazywa się podzbiór zbioru X {\displaystyle X} określony wzorem f 1 B = { x X : f ( x ) B } . {\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.} Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem f 1 { y } {\displaystyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}\textstyle ]} lub f 1 y , {\displaystyle f^{-1}[y],} nazywa się włóknem nad y {\displaystyle y} lub poziomicą lub warstwicą y . {\displaystyle y.} Zbiór wszystkich włókien nad elementami Y {\displaystyle Y} tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez Y . {\displaystyle Y.} Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień. Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to f 1 B {\displaystyle f^{-1}[B]} można oznaczać symbolem f 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} i myśleć o f 1 {\displaystyle f^{-1}} jako o funkcji ze zbioru potęgowego Y {\displaystyle Y} w zbiór potęgowy X . {\displaystyle X.} Oznaczenie f 1 {\displaystyle f^{-1}} może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy f {\displaystyle f} jest bijekcją.

Notacja | edytuj kod

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa
f : P ( X ) P ( Y ) , {\displaystyle f^{\rightarrow }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),} gdzie f ( A ) = { f ( a ) : a A } , {\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\colon a\in A\},} f : P ( Y ) P ( X ) , {\displaystyle f^{\leftarrow }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X),} gdzie f ( B ) = { a X : f ( a ) B } . {\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\}.}
Notacja gwiazdkowa
f : P ( X ) P ( Y ) {\displaystyle f_{\star }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)} zamiast f , {\displaystyle f^{\rightarrow },} f : P ( Y ) P ( X ) {\displaystyle f^{\star }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)} zamiast f . {\displaystyle f^{\leftarrow }.}
Inne
Alternatywną notacją f A {\displaystyle f[A]} wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest f A . {\displaystyle f''A.} W niektórych pracach obraz f {\displaystyle f} nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji f {\displaystyle f} postaci rg ( f ) {\displaystyle \operatorname {rg} (f)} bądź ran ( f ) {\displaystyle \operatorname {ran} (f)} (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady | edytuj kod

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania Ψ M . {\displaystyle \Psi _{M}.} Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego. Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.
  • f : { 1 , 2 , 3 } { a , b , c , d } {\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}} określona wzorem f ( x ) = { a dla  x = 1 , 2 c dla  x = 3. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}a&{\text{dla }}x=1,2\\c&{\text{dla }}x=3.\end{cases}}} Obrazem zbioru { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} poprzez f {\displaystyle f} jest f { 2 , 3 } = { a , c } . {\displaystyle f[\scriptstyle \{2,3\}\textstyle ]=\{a,c\}.} Obrazem funkcji jest { a , c } . {\displaystyle \{a,c\}.} Przeciwobrazem a {\displaystyle a} jest f 1 a = { 1 , 2 } . {\displaystyle f^{-1}[a]=\{1,2\}.} Przeciwobrazem { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} również jest { 1 , 2 } . {\displaystyle \{1,2\}.} Przeciwobrazem { b , d } {\displaystyle \{b,d\}} jest zbiór pusty { } . {\displaystyle \{\}.}
  • f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x ) = x 2 . {\displaystyle f(x)=x^{2}.} Obrazem { 2 , 3 } {\displaystyle \{-2,3\}} w f {\displaystyle f} jest f { 2 , 3 } = { 4 , 9 } , {\displaystyle f[\scriptstyle \{-2,3\}\textstyle ]=\{4,9\},} a obrazem f {\displaystyle f} jest R + . {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.} Przeciwobraz { 4 , 9 } {\displaystyle \{4,9\}} w f {\displaystyle f} to f 1 { 4 , 9 } = { 3 , 2 , 2 , 3 } . {\displaystyle f^{-1}[\scriptstyle \{4,9\}\textstyle ]=\{-3,-2,2,3\}.} Przeciwobrazem zbioru N = { n R : n < 0 } {\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} \colon n<0\}} w f {\displaystyle f} jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • f : R 2 R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x , y ) = x 2 + y 2 . {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.} Włóknami (poziomicami) f 1 a {\displaystyle f^{-1}[a]} okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru a , {\displaystyle a,} odpowiednio: a > 0 , {\displaystyle a>0,} a = 0 {\displaystyle a=0} oraz a < 0. {\displaystyle a<0.}
  • Jeżeli M {\displaystyle M} jest rozmaitością, a π : T M M {\displaystyle \pi \colon \operatorname {T} M\to M} jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej T M {\displaystyle \operatorname {T} M} na M , {\displaystyle M,} to przestrzenie styczne T x ( M ) {\displaystyle \operatorname {T} _{x}(M)} dla x M . {\displaystyle x\in M.} Jest to przykład wiązki włóknistej.

Właściwości | edytuj kod

Niech dana będzie funkcja f : X Y . {\displaystyle f\colon X\to Y.} Dla wszystkich podzbiorów A , A 1 , A 2 X {\displaystyle A,A_{1},A_{2}\subseteq X} oraz B , B 1 , B 2 Y {\displaystyle B,B_{1},B_{2}\subseteq Y} zachodzą następujące właściwości:

  • obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny, f A Y {\displaystyle f[A]\subseteq Y} oraz f 1 B X ; {\displaystyle f^{-1}[B]\subseteq X;}
  • działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami: f f 1 B B {\displaystyle f[f^{-1}[B]\textstyle ]\subseteq B} (równość dla funkcji „na”), f 1 f A A {\displaystyle f^{-1}[f[A]\textstyle ]\supseteq A} (równość dla funkcji różnowartościowej), f A B A f 1 B ; {\displaystyle f[A]\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{-1}[B];}
  • operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn. A 1 A 2 f A 1 f A 2 {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left[A_{1}\right]\subseteq f\left[A_{2}\right]} oraz B 1 B 2 f 1 B 1 f 1 B 2 ; {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left[B_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[B_{2}\right];}
  • prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów: f A B = f A f B , {\displaystyle f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],} f A B f A f B {\displaystyle f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]} (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa), f 1 A B = f 1 A f 1 B , {\displaystyle f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B],} f 1 A B = f 1 A f 1 B ; {\displaystyle f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B];}
  • zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru: f 1 B c = ( f 1 B ) c , {\displaystyle f^{-1}\left[B^{\operatorname {c} }\right]=(f^{-1}[B])^{\operatorname {c} },}
  • z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów: f A B f A f B , {\displaystyle f\left[A\setminus B\right]\supseteq f[A]\setminus f[B],} f 1 A B = f 1 A f 1 B , {\displaystyle f^{-1}\left[A\setminus B\right]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B],}
  • istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji: ( f | A ) 1 B = A f 1 B . {\displaystyle (f|_{A})^{-1}[B]=A\cap f^{-1}[B].}

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech ( A i ) i I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X , {\displaystyle X,} a ( B j ) j J {\displaystyle (B_{j})_{j\in J}} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y . {\displaystyle Y.} Wówczas

  • f A i = f A i , {\displaystyle f\left[\bigcup A_{i}\right]=\bigcup f\left[A_{i}\right],}
  • f A i f A i {\displaystyle f\left[\bigcap A_{i}\right]\subseteq \bigcap f\left[A_{i}\right]}

oraz

  • f 1 B j = f 1 B j , {\displaystyle f^{-1}\left[\bigcup B_{j}\right]=\bigcup f^{-1}\left[B_{j}\right],}
  • f 1 B j = f 1 B j . {\displaystyle f^{-1}\left[\bigcap B_{j}\right]=\bigcap f^{-1}\left[B_{j}\right].}

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru B Y {\displaystyle B\subset Y} względem złożenia g f : X Z {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z} dwóch funkcji f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} oraz g : Y Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} dany jest wzorem:

  • ( g f ) 1 B = ( f 1 g 1 ) B . {\displaystyle (g\circ f)^{-1}[B]=\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)[B].}

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. | f A | | A | , {\displaystyle |f[A]|\leqslant |A|,} a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem: | f 1 B | | B | {\displaystyle |f^{-1}[B]|\geqslant |B|} i równość zachodzi pod tym samym warunkiem[potrzebny przypis].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Blyth 2005, s. 5.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Obraz i przeciwobraz" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy