Stopień wielomianu


Stopień wielomianu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stopień jednomianusuma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian x y = x 1 y 1 {\displaystyle xy=x^{1}y^{1}} jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu f {\displaystyle f} oznaczamy deg f {\displaystyle \deg f} (skrót od angielskiego degree).

Niekiedy zakłada się, że jeśli f 0 , {\displaystyle f\equiv 0,} wówczas deg f = . {\displaystyle \deg f=-\infty .}

Stopień wielomianu ma następujące własności:

  • stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:
deg ( f ± g ) max ( deg f , deg g ) ; {\displaystyle \deg(f\pm g)\leqslant \max(\deg f,\deg g);}
  • stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:
deg ( f g ) = deg f + deg g . {\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.}

Rozszerzenie pojęcia | edytuj kod

Jeśli wielomian rzeczywisty f ( x ) {\displaystyle f(x)} osiąga od pewnego miejsca tylko wartości dodatnie lub tylko wartości ujemne, wówczas stopniem tego wielomianu nazywamy wartość:

deg f : = lim x log | f ( x ) | log ( x ) . {\displaystyle \deg f\colon =\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}.}

Wzór ten możemy zastosować także do pewnych funkcji, niebędących wielomianami, np.:

  • deg 1 x = 1 , {\displaystyle \deg {\tfrac {1}{x}}=-1,}
  • deg x = 1 2 , {\displaystyle \deg {\sqrt {x}}={\tfrac {1}{2}},}
  • deg log x = 0 , {\displaystyle \deg \log x=0,}
  • deg exp x = . {\displaystyle \deg \exp x=\infty .}

Uwaga: Takie rozszerzenie pojęcia stopnia wielomianu nie jest poprawne z punktu widzenia algebry.

Przykłady | edytuj kod

  • 3 x 3 2 x 2 + x 1 {\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+x-1} – wielomian stopnia 3,
  • x 5 + x 3 2 x + 11 {\displaystyle x^{5}+x^{3}-2x+11} – wielomian stopnia 5,
  • 2 x {\displaystyle 2x} – wielomian stopnia 1,
  • 9 {\displaystyle -9} – wielomian stopnia 0,
  • 0 {\displaystyle 0} – wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).
Na podstawie artykułu: "Stopień wielomianu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy