Szereg Taylora


Wzór Taylora w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Szereg Taylora) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Funkcja wykładnicza y = e x {\displaystyle y=e^{x}} (czerwona linia ciągła) i odpowiadający jej wielomian Taylora czwartego stopnia (zielona linia przerywana) w okolicach początku układu współrzędnych.

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory.

W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Spis treści

Twierdzenie Taylora | edytuj kod

Niech Y {\displaystyle Y} będzie przestrzenią unormowaną oraz f : a , b Y {\displaystyle f\colon [a,b]\to Y} będzie funkcją ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -razy różniczkowalną na przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu x {\displaystyle x} z przedziału ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora

f ( x ) = f ( a ) + x a 1 ! f ( 1 ) ( a ) + ( x a ) 2 2 ! f ( 2 ) ( a ) + + ( x a ) n n ! f ( n ) ( a ) + R n ( x , a ) = k = 0 n ( ( x a ) k k ! f ( k ) ( a ) ) + R n ( x , a ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1!}}f^{(1)}(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2!}}f^{(2)}(a)+\ldots +{\frac {(x-a)^{n}}{n!}}f^{(n)}(a)+R_{n}(x,a)\\&=\sum \limits _{k=0}^{n}\left({\frac {(x-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)\right)+R_{n}(x,a),\end{aligned}}}

gdzie f ( k ) ( a ) {\displaystyle f^{(k)}(a)} jest pochodną k-tego rzędu funkcji f , {\displaystyle f,} obliczoną w punkcie a ; {\displaystyle a;} R n ( x , a ) {\displaystyle R_{n}(x,a)} spełnia warunek

lim x a R n ( x , a ) ( x a ) n = 0. {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}(x,a)}{(x-a)^{n}}}=0.}

Funkcja R n ( x , a ) {\displaystyle R_{n}(x,a)} nazywana jest resztą Peana we wzorze Taylora. W przypadku a = 0 , {\displaystyle a=0,} wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.

Przybliżanie funkcji za pomocą wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do otoczenia wybranego punktu a . {\displaystyle a.} Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej, że są dostatecznie bliskie punktu a . {\displaystyle a.} Sensowne wydaje się jednak pytanie o to, kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.

Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny | edytuj kod

W przypadku gdy Y {\displaystyle Y} jest ciałem liczb rzeczywistych, resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:

Reszta w postaci całkowej | edytuj kod

R n ( x , a ) = a x ( x t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) d t . {\displaystyle R_{n}(x,a)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)dt.}

Reszta w postaci Lagrange’a | edytuj kod

Istnieje takie θ 0 , 1 , {\displaystyle \theta \in [0,1],} że

R n ( x , a ) = ( x a ) n + 1 ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( a + θ ( x a ) ) . {\displaystyle R_{n}(x,a)={\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a+\theta (x-a)).}

Lub inaczej, istnieje takie ξ a , x {\displaystyle \xi \in [a,x]} dla x > a {\displaystyle x>a} lub ξ x , a {\displaystyle \xi \in [x,a]} dla x < a , {\displaystyle x<a,} że

R n ( x , a ) = ( x a ) n + 1 ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( ξ ) . {\displaystyle R_{n}(x,a)={\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\xi ).}

Uwaga: W tym przypadku założenie Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } nie jest istotne.

Reszta w postaci Cauchy’ego | edytuj kod

Istnieje takie θ 0 , 1 , {\displaystyle \theta \in [0,1],} że

R n ( x , a ) = ( x a ) n + 1 n ! ( 1 θ ) n f ( n + 1 ) ( a + θ ( x a ) ) . {\displaystyle R_{n}(x,a)={\frac {(x-a)^{n+1}}{n!}}(1-\theta )^{n}f^{(n+1)}(a+\theta (x-a)).}

Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’a | edytuj kod

Dla każdego p > 0 {\displaystyle p>0} istnieje takie ξ a , x , {\displaystyle \xi \in [a,x],} że

R n ( x , a ) = ( x a ) p ( x ξ ) n + 1 p p n ! f ( n + 1 ) ( ξ ) . {\displaystyle R_{n}(x,a)={\frac {(x-a)^{p}(x-\xi )^{n+1-p}}{pn!}}f^{(n+1)}(\xi ).}

Dla p = 1 {\displaystyle p=1} otrzymujemy postać Cauchy’ego reszty.
Dla p = n + 1 {\displaystyle p=n+1} otrzymujemy postać Lagrange’a reszty.

Szacowanie reszty | edytuj kod

Jeżeli f : a , b Y {\displaystyle f\colon [a,b]\to Y} jest ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie M 0 , {\displaystyle M\geqslant 0,} że

f ( n + 1 ) ( x ) M {\displaystyle \|f^{(n+1)}(x)\|\leqslant M} dla x a , b , {\displaystyle x\in [a,b],}

to dla reszty R n ( x , a ) {\displaystyle R_{n}(x,a)} we wzorze Taylora dla f {\displaystyle f} mamy oszacowanie

R n ( x , a ) M ( n + 1 ) ! | x a | n + 1 {\displaystyle \|R_{n}(x,a)\|\leqslant {\frac {M}{(n+1)!}}|x-a|^{n+1}} dla x a , b . {\displaystyle x\in [a,b].}

Przy czym za M {\displaystyle M} wystarczy obrać supremum wartości jakie ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -wsza pochodna funkcji f {\displaystyle f} przyjmuje dla argumentów z przedziału a , b . {\displaystyle [a,b].}

Jeżeli natomiast, f : a , b Y {\displaystyle f\colon [a,b]\to Y} jest n {\displaystyle n} -krotnie różniczkowalna oraz M 1 {\displaystyle M_{1}} jest taką liczbą, że

f ( n ) ( x ) f ( n ) ( a ) M 1 {\displaystyle \|f^{(n)}(x)-f^{(n)}(a)\|\leqslant M_{1}} dla x a , b , {\displaystyle x\in [a,b],}

to dla reszty R n ( x , a ) {\displaystyle R_{n}(x,a)} we wzorze Taylora dla f {\displaystyle f} mamy oszacowanie

R n ( x , a ) 1 n ! M 1 | x a | n {\displaystyle \|R_{n}(x,a)\|\leqslant {\frac {1}{n!}}M_{1}|x-a|^{n}} dla x a , b . {\displaystyle x\in [a,b].}

Szereg Taylora | edytuj kod

Jeśli funkcja f : D Y , {\displaystyle f\colon D\to Y,} gdzie D R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } oraz Y , {\displaystyle Y,} tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie x 0 D {\displaystyle x_{0}\in D} pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

n = 0 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x x 0 ) n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n},}

gdzie przyjęto f ( 0 ) ( x 0 ) = f ( x 0 ) . {\displaystyle f^{(0)}(x_{0})=f(x_{0}).} Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f . {\displaystyle f.} Jeżeli x 0 = 0 , {\displaystyle x_{0}=0,} to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Samą funkcję f {\displaystyle f} nazywa się funkcją analityczną w punkcie x 0 , {\displaystyle x_{0},} jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji f {\displaystyle f} (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną lub gładką (zob. funkcja regularna). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej. W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale nie na odwrót.

Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji f : D Y {\displaystyle f\colon D\to Y} w punkcie x 0 D , {\displaystyle x_{0}\in D,} warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego x D {\displaystyle x\in D} szereg Taylora funkcji f {\displaystyle f} był zbieżny do f ( x ) , {\displaystyle f(x),} jest, aby ciąg ( R n ( x , x 0 ) ) n N {\displaystyle (R_{n}(x,x_{0}))_{n\in \mathbb {N} }} reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.

Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla m {\displaystyle m} -tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej f , {\displaystyle f,} spełniającej powyższe założenia, można znaleźć, licząc kilka pierwszych wartości:

f ( x ) k = 0 N f ( k ) ( x 0 ) ( x x 0 ) k k ! , {\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{N}{\frac {f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}}{k!}},}

przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:

max ξ x 0 , x { ( x x 0 ) | f ( N + 1 ) ( x 0 ) ( ξ x 0 ) N + 1 ( N + 1 ) ! | } . {\displaystyle \max _{\xi \in [x_{0},x]}\left\{(x-x_{0})\cdot \left|{\frac {f^{(N+1)}(x_{0})(\xi -x_{0})^{N+1}}{(N+1)!}}\right|\right\}.}

Geneza i wyprowadzenie wzoru | edytuj kod

Celem jest znalezienie dla dowolnej funkcji f {\displaystyle f} co najmniej n + 1 {\displaystyle n+1} razy różniczkowalnej, niebędącej skończonym wielomianem, odpowiadającego jej wielomianu P {\displaystyle P} stopnia n , {\displaystyle n,} który jest równy funkcji f , {\displaystyle f,} tzn. dziedziny obu funkcji są takie same i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji dla tego argumentu są również takie same:

D f = D P = D x D f ( x ) = P ( x ) {\displaystyle D_{f}=D_{P}=D\wedge \bigwedge _{x\in D}f(x)=P(x)}

Weźmy teraz pewien argument a {\displaystyle a} należący do tej dziedziny, tzn. a D . {\displaystyle a\in D.} Równanie f ( a ) = P ( a ) {\displaystyle f(a)=P(a)} jest pierwszym warunkiem równości obu tych funkcji, ale niewystarczającym. Istnieje bowiem wiele (a dokładniej nieskończenie wiele) wielomianów stopnia n , {\displaystyle n,} które dla tego argumentu spełniają powyższą równość. Ponieważ jest to równanie funkcyjne, gdyż niewiadomą jest tutaj funkcja, a nie wartość liczbowa, jako drugi warunek równości obu funkcji może być porównanie ich pochodnych w punkcie a , {\displaystyle a,} czyli f ( 1 ) ( a ) = P ( 1 ) ( a ) . {\displaystyle f^{(1)}(a)=P^{(1)}(a).} Mając już 2 warunki równości obu funkcji, zawężamy zbiór dopuszczalnych rozwiązań, a więc wielomianów spełniających te równania, jednak nadal jest ich dużo (nieskończenie wiele), w związku z czym dodajemy trzecie równanie analogicznie, tym razem dla pochodnych tych funkcji stopnia 2, dalej dodajemy kolejne równanie – dla pochodnych stopnia 3 itd., zawężając za każdym nowym takim warunkiem coraz bardziej zbiór dopuszczalnych rozwiązań (cały czas jest ich jednak nieskończenie wiele). Na końcu dodajemy ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -szy warunek porównujący pochodne n {\displaystyle n} -tego stopnia naszych funkcji, co uznajemy za warunek wystarczający do wyznaczenia szukanego przez nas wielomianu. Należy jednak pamiętać, że jeśli n {\displaystyle n} jest liczbą skończoną, tzn. zarówno ilość warunków, jak i współczynników naszego wielomianu p k {\displaystyle p_{k}} jest skończona, wówczas znaleziony wielomian nie będzie dokładnym rozwiązaniem, a jedynie przybliżonym w stopniu n . {\displaystyle n.} W rezultacie otrzymujemy poniższy układ równań.

{ f ( a ) = P ( a ) f ( 1 ) ( a ) = P ( 1 ) ( a ) f ( 2 ) ( a ) = P ( 2 ) ( a ) f ( 3 ) ( a ) = P ( 3 ) ( a ) f ( n ) ( a ) = P ( n ) ( a ) {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}f(a)&=&P(a)\\f^{(1)}(a)&=&P^{(1)}(a)\\f^{(2)}(a)&=&P^{(2)}(a)\\f^{(3)}(a)&=&P^{(3)}(a)\\\vdots \\f^{(n)}(a)&=&P^{(n)}(a)\end{matrix}}\end{cases}}}

Powyższy układ równań należy rozumieć jako wielomian, dla którego w punkcie a {\displaystyle a} równe są sobie wartości funkcji f {\displaystyle f} z P , {\displaystyle P,} ich pochodne, ich pochodne stopnia 2 , 3 , , n . {\displaystyle 2,3,\dots ,n.} Wielomian P {\displaystyle P} oznaczmy jako P ( a ) = p 0 + p 1 a + p 2 a 2 + p 3 a 3 + + p n a n , {\displaystyle P(a)=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+p_{3}a^{3}+\dots +p_{n}a^{n},} gdzie niewiadomymi są jego współczynniki p k . {\displaystyle p_{k}.} Wówczas powyższy układ równań staje się układem n + 1 {\displaystyle n+1} równań z n + 1 {\displaystyle n+1} niewiadomymi współczynnikami p k . {\displaystyle p_{k}.}

{ f ( a ) = p 0 + p 1 a + p 2 a 2 + p 3 a 3 + + p n a n f ( 1 ) ( a ) = p 1 + 2 p 2 a + 3 p 3 a 2 + + n p n a n 1 f ( 2 ) ( a ) = 2 p 2 + 6 p 3 a + + n ( n 1 ) p n a n 2 f ( 3 ) ( a ) = 6 p 3 + + n ( n 1 ) ( n 2 ) p n a n 3 f ( n ) ( a ) = n ! p n {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}f(a)&=&p_{0}&+&p_{1}a&+&p_{2}a^{2}&+&p_{3}a^{3}&+&\dots &+&p_{n}a^{n}\\f^{(1)}(a)&=&&&p_{1}&+&2p_{2}a&+&3p_{3}a^{2}&+&\dots &+&np_{n}a^{n-1}\\f^{(2)}(a)&=&&&&&2p_{2}&+&6p_{3}a&+&\dots &+&n(n-1)p_{n}a^{n-2}\\f^{(3)}(a)&=&&&&&&&6p_{3}&+&\dots &+&n(n-1)(n-2)p_{n}a^{n-3}\\\vdots \\f^{(n)}(a)&=&&&&&&&&&&&n!p_{n}\end{matrix}}\end{cases}}}

Układ ten można rozwiązać różnymi sposobami, np. za pomocą wyznaczników macierzy, stosując wzory Cramera, ale najprościej jest zastosować metodę eliminacji Gaussa, czyli podstawień elementarnych, poczynając od ostatniego n {\displaystyle n} -tego równania, który zawiera tylko jedną niewiadomą, i posuwając się po kolei aż do pierwszego równania, gdyż każde równanie zawiera wszystkie niewiadome obliczone we wcześniej obliczonych równaniach plus jedną nową niewiadomą, co znacznie ułatwia rozwiązanie całego układu. Po jego rozwiązaniu, patrząc na jego rozwiązania, nietrudno zauważyć, że każde takie rozwiązanie sprowadzić można do postaci:

p m = k = m n ( a ) k m ( k m ) ! m ! f ( k ) ( a ) . {\displaystyle p_{m}=\sum \limits _{k=m}^{n}{\frac {(-a)^{k-m}}{(k-m)!m!}}f^{(k)}(a).}

Na koniec obliczamy wartość funkcji f ( x ) , {\displaystyle f(x),} a więc już dla dowolnego x {\displaystyle x} należącego do dziedziny, czyli x D {\displaystyle x\in D} w oparciu o wielomian P ( x ) , {\displaystyle P(x),} w którym za kolejne jego współczynniki p k {\displaystyle p_{k}} podstawiamy obliczone w powyższym układzie równań wyrażenia.

f ( x ) = P ( x ) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + p 3 x 3 + + p n x n . {\displaystyle f(x)=P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}+\dots +p_{n}x^{n}.}

Po podstawieniu za wszystkie współczynniki p k {\displaystyle p_{k}} wyrażeń obliczonych we wcześniejszym układzie równań i uproszczeniu całego wyrażenia otrzymujemy wzór Taylora.

f ( x ) = P ( x ) = k = 0 n ( x a ) k k ! f ( k ) ( a ) . {\displaystyle f(x)=P(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {(x-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a).}

Pamiętajmy, że w celu otrzymania dokładnego wielomianu n {\displaystyle n} musi dążyć do nieskończoności, czyli n , {\displaystyle n\to \infty ,} tzn. zarówno ilość warunków w układzie równań, jak i współczynników naszego wielomianu p k {\displaystyle p_{k}} musi być nieskończona.

Rozwinięcia niektórych funkcji w szereg Maclaurina | edytuj kod

Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone – domyślnie x {\displaystyle x} jest więc liczbą zespoloną, chyba że zaznaczono inaczej.

Pierwiastek kwadratowy | edytuj kod

x + 1 = n = 0 ( 1 ) n ( 2 n ) ! ( 1 2 n ) ( n ! ) 2 4 n x n , | x | < 1. {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}4^{n}}}x^{n},\;|x|<1.}

Funkcja wykładnicza i logarytm naturalny | edytuj kod

e x = n = 0 x n n ! , {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},} ln ( 1 + x ) = n = 1 ( 1 ) n + 1 n x n ,   1 < x 1. {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n},\ -1<x\leqslant 1.}

Szereg geometryczny | edytuj kod

x m 1 x = n = m x n , | x | < 1. {\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n},\;|x|<1.}

Uogólniony dwumian Newtona | edytuj kod

( 1 + x ) α = n = 0 ( α n ) x n , | x | < 1 , α C , {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},\;|x|<1,\alpha \in \mathbb {C} ,} gdzie ( α n ) = α ! n ! ( α n ) ! = α ( α 1 ) ( α n + 1 ) n ! . {\displaystyle {\alpha \choose n}={\frac {\alpha !}{n!(\alpha -n)!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne | edytuj kod

Im większy stopień wielomianu interpolacyjnego we wzorze Taylora, tym lepiej przybliża on wyjściową funkcję. Na rysunku: rozwinięcia funkcji sinus stopnia      1,      3,      5,      7,      9,      11 i      13. sin x = n = 0 ( 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x x 3 3 ! + x 5 5 ! {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots } cos x = n = 0 ( 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 x 2 2 ! + x 4 4 ! {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots } tg x = n = 1 B 2 n ( 4 ) n ( 1 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots ,\;|x|<{\frac {\pi }{2}}}

gdzie B n {\displaystyle B_{n}} oznaczają liczby Bernoulliego.

sec x = n = 0 ( 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n , | x | < π 2 {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\;|x|<{\frac {\pi }{2}}}

gdzie E n {\displaystyle E_{n}} oznaczają liczby Eulera.

arcsin x = n = 0 ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , | x | 1 {\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1},\;|x|\leqslant 1} arccos x = π 2 arcsin x = π 2 n = 0 ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , | x | 1 {\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1},\;|x|\leqslant 1} arctg x = n = 0 ( 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 , | x | 1 {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1},\;|x|\leqslant 1}

Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczne | edytuj kod

sinh ( x ) = n = 0 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},} cosh ( x ) = n = 0 1 ( 2 n ) ! x 2 n , {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},} tgh ( x ) = n = 1 B 2 n 4 n ( 4 n 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n 1 , | x | < π 2 , {\displaystyle \operatorname {tgh} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},\;|x|<{\frac {\pi }{2}},} arsinh ( x ) = n = 0 ( 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , | x | < 1 , {\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1},\;|x|<1,} artgh ( x ) = n = 0 1 2 n + 1 x 2 n + 1 , | x | < 1. {\displaystyle \operatorname {artgh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1},\;|x|<1.}

Funkcja W Lamberta | edytuj kod

W 0 ( x ) = n = 1 ( n ) n 1 n ! x n , | x | < 1 e . {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},\;|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}.}

Uogólnione twierdzenie Taylora | edytuj kod

Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane również twierdzeniem Taylora.

Niech szereg potęgowy n = 0 c n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}} będzie zbieżny dla | x | < R {\displaystyle |x|<R} i niech f ( x ) {\displaystyle f(x)} oznacza sumę tego szeregu na przedziale ( R , R ) . {\displaystyle (-R,R).} Jeżeli a ( R , R ) , {\displaystyle a\in (-R,R),} to funkcję f {\displaystyle f} można rozwinąć w punkcie x = a {\displaystyle x=a} w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla | x a | < R | a | , {\displaystyle |x-a|<R-|a|,} przy czym

f ( x ) = n = 0 f ( n ) ( a ) n ! ( x a ) n . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}

Przykłady obliczania | edytuj kod

Przykład 1 | edytuj kod

Znaleźć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji

f ( x ) = ln cos x , {\displaystyle f(x)=\ln \cos x,}

będącą wielomianem stopnia 6.

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa

ln ( 1 + x ) = x x 2 2 + x 3 3 {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{3}}{3}}-\cdots } cos x 1 = x 2 2 + x 4 24 x 6 720 + , {\displaystyle \cos x-1=-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{4}}{24}}-{\tfrac {x^{6}}{720}}+\dots ,}

podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:

( x 2 2 + x 4 24 x 6 720 ) ( x 2 2 + x 4 24 ) 2 2 + ( x 2 2 ) 3 3 {\displaystyle (-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{4}}{24}}-{\tfrac {x^{6}}{720}})-{\tfrac {\left(-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{4}}{24}}\right)^{2}}{2}}+{\tfrac {\left(-{\tfrac {x^{2}}{2}}\right)^{3}}{3}}} = x 2 2 + x 4 24 x 6 720 x 4 8 + x 6 48 x 6 24 {\displaystyle =-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{4}}{24}}-{\tfrac {x^{6}}{720}}-{\tfrac {x^{4}}{8}}+{\tfrac {x^{6}}{48}}-{\tfrac {x^{6}}{24}}} = x 2 2 x 4 12 x 6 45 . {\displaystyle =-{\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x^{4}}{12}}-{\tfrac {x^{6}}{45}}.}

Przykład 2 | edytuj kod

Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji

g ( x ) = e x cos x . {\displaystyle g(x)={\tfrac {e^{x}}{\cos x}}.}

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej i cosinusa

e x = n = 0 x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots } cos x = 1 x 2 2 ! + x 4 4 ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots }

Planujemy postać szeregu Maclaurina:

e x cos x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + {\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots }

Mnożymy wyrażenie przez cos x {\displaystyle \cos x}

e x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ) cos x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ) ( 1 x 2 2 ! + x 4 4 ! ) = c 0 c 0 2 x 2 + c 0 4 ! x 4 + c 1 x c 1 2 x 3 + c 1 4 ! x 5 + c 2 x 2 c 2 2 x 4 + c 2 4 ! x 6 + c 3 x 3 c 3 2 x 5 + c 3 4 ! x 7 + {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots )\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+\cdots \end{aligned}}}

Porządkujemy odpowiednie współczynniki:

= c 0 + c 1 x + ( c 2 c 0 2 ) x 2 + ( c 3 c 1 2 ) x 3 + ( c 4 + c 0 4 ! c 2 2 ) x 4 + {\displaystyle =c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}+{\frac {c_{0}}{4!}}-{\frac {c_{2}}{2}}\right)x^{4}+\cdots }

Porównując współczynniki, dostajemy:

e x cos x = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 2 + {\displaystyle {\tfrac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots }

Przykład zastosowania | edytuj kod

Obliczyć w przybliżeniu 10 . {\displaystyle {\sqrt {10}}.}

9 {\displaystyle {\sqrt {9}}} jest znany, podobnie jak wartości kolejnych pochodnych funkcji f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} w punkcie x = 9 , {\displaystyle x=9,} tak więc: 10 = k = 0 f ( k ) ( 9 ) ( 10 9 ) k k ! = k = 0 f ( k ) ( 9 ) k ! k = 0 N f ( k ) ( 9 ) k ! {\displaystyle {\sqrt {10}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(k)}(9)(10-9)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(k)}(9)}{k!}}\approx \sum _{k=0}^{N}{\tfrac {f^{(k)}(9)}{k!}}} 10 9 + 1 2 9 1 8 ( 9 ) 3 + 3 48 ( 9 ) 5 = 3 + 1 6 1 216 + 1 3888 = 3 + 631 3888 3,162 294238683127572016 {\displaystyle {\sqrt {10}}\approx {\sqrt {9}}+{\tfrac {1}{2{\sqrt {9}}}}-{\tfrac {1}{8({\sqrt {9}})^{3}}}+{\tfrac {3}{48({\sqrt {9}})^{5}}}=3+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{216}}+{\tfrac {1}{3888}}=3+{\tfrac {631}{3888}}\approx 3{,}162294238683127572016} ( 3 + 631 3888 ) 2 = 10 + 1585 15116544 . {\displaystyle \left(3+{\tfrac {631}{3888}}\right)^{2}=10+{\tfrac {1585}{15116544}}.}

Przy czym błąd jest nie większy niż:

max ξ 9 , 10 ( ( 10 9 ) | 384 ( ξ ) 7 | ) = 15 384 ( 9 ) 7 = 15 839808 0,000 017861. {\displaystyle \max _{\xi \in [9,10]}\left((10-9)\left|{384({\sqrt {\xi }})^{7}}\right|\right)={\tfrac {15}{384({\sqrt {9}})^{7}}}={\tfrac {15}{839808}}\approx 0{,}000017861.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie fotograficzne. T. I. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 201–218.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa, Poznań: PWN, 2000. ISBN 83-01-02846-7.
Na podstawie artykułu: "Szereg Taylora" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy