Torus (matematyka)


Torus (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Torus Gdy odległość między środkiem okręgu a jego osią obrotu zbliża się do zera, wtedy torus zbliża się kształtem do sfery.

Torusdwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go. Często oznacza się go symbolem T 2 {\displaystyle \mathrm {T} ^{2}} lub T 2 . {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}.}

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Spis treści

Parametryzacje | edytuj kod

Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1).

Niech okrąg definiujący torus ma promień r , {\displaystyle r,} obrotu pokrywa się z osią O Z {\displaystyle OZ} układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi R {\displaystyle R} oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie O X Y . {\displaystyle OXY.}

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

( x 2 + y 2 R ) 2 + z 2 = r 2 . {\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.}

Pole powierzchni torusa jest równe:

S = 4 π 2 r R , {\displaystyle S=4\pi ^{2}rR,}

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa:

V = 2 π 2 R r 2 . {\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}.}

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie x z {\displaystyle xz} o środku w punkcie ( R ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left(R,\ 0,\ 0\right)} i promieniu r , {\displaystyle r,} gdzie R > r > 0. {\displaystyle R>r>0.} Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

f ( α ) = ( R + r cos α ,   0 ,   r sin α ) . {\displaystyle f(\alpha )=(R+r\cos \alpha ,\ 0,\ r\sin \alpha ).}

Obróćmy ten okrąg o kąt β {\displaystyle \beta } wokół osi z . {\displaystyle z.} W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

U β = cos β sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1 . {\displaystyle U_{\beta }={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}

Zatem:

p ( α ,   β ) = U β f T ( α ) = cos β sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1 R + r cos α 0 r sin α = ( R + r cos α ) cos β ( R + r cos α ) sin β r sin α . {\displaystyle p\left(\alpha ,\ \beta \right)=U_{\beta }\cdot f^{T}(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}R+r\cos \alpha \\0\\r\sin \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left(R+r\cos \alpha \right)\cos \beta \\\left(R+r\cos \alpha \right)\sin \beta \\r\sin \alpha \end{bmatrix}}.}

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

p ( α ,   β ) = ( ( R + r cos α ) cos β ,   ( R + r cos α ) sin β ,   r sin α ) . {\displaystyle p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}(R+r\cos \alpha )\cos \beta ,\ (R+r\cos \alpha )\sin \beta ,\ r\sin \alpha {\Big )}.}

Krzywizna Gaussa | edytuj kod

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym p ( α ,   β ) = ( g ( α ) ,   h ( α ) cos β , h ( α ) sin β ) {\displaystyle p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}g(\alpha ),\ h(\alpha )\cos \beta ,h(\alpha )\sin \beta {\Big )}} w punkcie P = p ( α ,   β ) {\displaystyle P=p(\alpha ,\ \beta )} można wyznaczyć ze wzoru:

K P = g ( g h h g ) h ( g 2 + h 2 ) 2 . {\displaystyle K_{P}={\frac {g'\left(g''h'-h''g'\right)}{h\left(g'^{2}+h'^{2}\right)^{2}}}.}

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

h ( α ) = R + r cos α , g ( α ) = r sin α . {\displaystyle h(\alpha )=R+r\cos \alpha ,\qquad g(\alpha )=r\sin \alpha .}

Stąd:

h ( α ) = r sin α , g ( α ) = r cos α ; {\displaystyle h'(\alpha )=-r\sin \alpha ,\qquad g'(\alpha )=r\cos \alpha ;} h ( α ) = r cos α , g ( α ) = r sin α . {\displaystyle h''(\alpha )=-r\cos \alpha ,\qquad g''(\alpha )=-r\sin \alpha .}

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

K P = cos α r ( R + r cos α ) . {\displaystyle K_{P}={\frac {\cos \alpha }{r(R+r\cos \alpha )}}.}

Zauważmy, że:

  • dla π 2 < α < π 2 {\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}} mamy cos α > 0 , {\displaystyle \cos \alpha >0,} czyli K P > 0 {\displaystyle K_{P}>0} na zewnętrznej stronie torusa;
  • dla α = π 2 , α = π 2 {\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\pi }{2}},\;\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}} mamy cos α = 0 , {\displaystyle \cos \alpha =0,} czyli K P = 0 {\displaystyle K_{P}=0} na górze i dole torusa;
  • dla π 2 < α < 3 π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}} mamy cos α < 0 , {\displaystyle \cos \alpha <0,} czyli K P < 0 {\displaystyle K_{P}<0} po wewnętrznej stronie torusa;
  • gdy α = 0 , {\displaystyle \alpha =0,} wówczas K P {\displaystyle K_{P}} przyjmuje maksimum, tj. K ( 0 ) = 1 r ( R + r ) {\displaystyle K(0)={\tfrac {1}{r(R+r)}}} na największym okręgu (równoleżniku);
  • gdy α = π , {\displaystyle \alpha =\pi ,} wówczas K P {\displaystyle K_{P}} przyjmuje minimum, tj. K ( π ) = 1 r ( R r ) {\displaystyle K(\pi )={\tfrac {1}{r(R-r)}}} na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie | edytuj kod

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową R 2 / , {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\sim ,} gdzie {\displaystyle \sim } jest relacją równoważności określoną następująco:

( x , y ) ( x , y ) x x Z , y y Z . {\displaystyle (x,y)\sim (x',y')\Leftrightarrow x-x'\in \mathbb {Z} ,y-y'\in \mathbb {Z} .}

Wynika stąd istnienie odwzorowania p : R 2 T 2 , {\displaystyle p:\mathbb {R} ^{2}\to T^{2},} f ( x , y ) = ( x , y ) , {\displaystyle f(x,y)=[(x,y)]_{\sim },} które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji {\displaystyle \sim } i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (powierzchnia):
Na podstawie artykułu: "Torus (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy