Trójkąt


Trójkąt w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Trójkątwielokąt o trzech bokach[1]. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta[1]. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami[1].

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°[1], zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Spis treści

Rodzaje | edytuj kod

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

  • trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
  • trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości[1];
  • trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości[1]; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

  • trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre[1];
  • trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty[1] (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej[2]; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
  • trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty[1].

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne elementy | edytuj kod

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok[2]. Słowem „wysokość” często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku[1]. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie[1], będącym środkiem geometrycznym (barycentrum, lub błędnie środkiem masy lub środkiem ciężkości) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek[1]. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie[1].

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt[1].

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela – punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a – punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków S 1 , {\displaystyle S_{1},} symetralnych boków S 2 , {\displaystyle S_{2},} wysokości S 3 {\displaystyle S_{3}} (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto | S 1 S 3 | = 2 | S 1 S 2 | . {\displaystyle |S_{1}S_{3}|=2|S_{1}S_{2}|.}

Pole powierzchni | edytuj kod

Przyjmując dla trójkąta A B C {\displaystyle ABC} następujące oznaczenia:

a ,   b ,   c {\displaystyle a,\ b,\ c} – długości boków; h a ,   h b ,   h c {\displaystyle h_{a},\ h_{b},\ h_{c}} – wysokości opuszczone na boki odpowiednio a ,   b ,   c ; {\displaystyle a,\ b,\ c;} α ,   β ,   γ {\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma } – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio a ,   b ,   c ; {\displaystyle a,\ b,\ c;} S {\displaystyle S} – pole powierzchni; R {\displaystyle R} – promień okręgu opisanego; r {\displaystyle r} – promień okręgu wpisanego; p {\displaystyle p} – połowa obwodu; p = a + b + c 2 ; {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}};}

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni[2]:

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości. S = a h a 2 = b h b 2 = c h c 2 ; {\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}};} S = a b sin γ 2 = b c sin α 2 = c a sin β 2 ; {\displaystyle S={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ca\sin \beta }{2}};} S = p r = a b c 4 R ; {\displaystyle S=pr={\frac {abc}{4R}};} S = p ( p a ) ( p b ) ( p c ) {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} (wzór Herona); S = 1 4 | 0 1 1 1 1 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 | {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}} (postać wyznacznikowa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

S = a 2 sin β sin γ 2 sin α = 1 4 ( ( a + b ) 2 c 2 ) ( c 2 ( a b ) 2 ) = {\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}=} = 2 R 2 sin α sin β sin γ . {\displaystyle =2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .}

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta[2]

A = ( a 1 , a 2 ) , {\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),} B = ( b 1 , b 2 ) , {\displaystyle B=(b_{1},b_{2}),} C = ( c 1 , c 2 ) , {\displaystyle C=(c_{1},c_{2}),}

dostaniemy także następujące wzory:

S = | 1 2 | a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 | | , {\displaystyle S=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{vmatrix}}\right|,} czyli S = 1 2 | det a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 | = 1 2 | A B × A C | = 1 2 | a 1 b 2 + b 1 c 2 + c 1 a 2 c 1 b 2 a 1 c 2 b 1 a 2 | ; {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}\left|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\right|={\frac {1}{2}}|a_{1}b_{2}+b_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-c_{1}b_{2}-a_{1}c_{2}-b_{1}a_{2}|;} S = 1 2 | det b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 | . {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}b_{1}-a_{1}&b_{2}-a_{2}\\c_{1}-a_{1}&c_{2}-a_{2}\end{bmatrix}}\right|.}

Środek geometryczny | edytuj kod

 Zobacz więcej w artykule Środek masy, w sekcji Środek geometryczny.

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

A = ( a 1 , a 2 ) , {\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),} B = ( b 1 , b 2 ) , {\displaystyle B=(b_{1},b_{2}),} C = ( c 1 , c 2 ) , {\displaystyle C=(c_{1},c_{2}),}

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:

Q = ( a 1 + b 1 + c 1 3 ,   a 2 + b 2 + c 2 3 ) . {\displaystyle Q=\left({\frac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},\ {\frac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}}\right).}

Nierówność trójkąta | edytuj kod

 Osobny artykuł: Nierówność trójkąta. Wizualizacja „działania” nierówności trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a , {\displaystyle a,} b {\displaystyle b} i c {\displaystyle c} zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

a < b + c , {\displaystyle a<b+c,}

i analogicznie

b < c + a , {\displaystyle b<c+a,} c < a + b . {\displaystyle c<a+b.}

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą a , {\displaystyle a,} b {\displaystyle b} i c {\displaystyle c} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

| b c | < a < b + c . {\displaystyle |b-c|<a<b+c.}

Geometrie nieeuklidesowe | edytuj kod

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli 180 = π . {\displaystyle 180^{\circ }=\pi .}

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h i j k l m n Encyklopedia szkolna, s. 287.
  2. a b c d Encyklopedia szkolna, s. 288.

Bibliografia | edytuj kod

  • Matematyka (Encyklopedia szkolna), Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, ISBN 83-02-02551-8 .
Kontrola autorytatywna (bicentric polygon):
Na podstawie artykułu: "Trójkąt" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy