Trójkąt prostokątny


Trójkąt prostokątny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Trójkąt prostokątny
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
α, β – miary kątów ostrych,
h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątnytrójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5[1].

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Spis treści

Własności geometryczne | edytuj kod

Związki metryczne | edytuj kod

  • Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
  • Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość a b c , {\displaystyle {\frac {ab}{c}},} jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości.
  • Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:
S = 1 2 c h , {\displaystyle S={{\tfrac {1}{2}}{c}\cdot {h}},} S = 1 2 a b , {\displaystyle S={{\tfrac {1}{2}}{a}\cdot {b}},} S = 1 2 b 2 tg α = 1 2 a 2 tg β , {\displaystyle S={{\tfrac {1}{2}}b^{2}\operatorname {tg} \alpha }={{\tfrac {1}{2}}a^{2}\operatorname {tg} \beta },} S = 1 4 c 2 sin 2 α = 1 4 c 2 sin 2 β . {\displaystyle S={{\tfrac {1}{4}}c^{2}\sin 2\alpha }={{\tfrac {1}{4}}c^{2}\sin 2\beta }.}
  • Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: R = 1 2 c . {\displaystyle R={{\tfrac {1}{2}}c}.}
  • Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: r = a + b c 2 . {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}.}

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: ( a + b c ) ( a + b + c ) = ( a + b ) 2 c 2 . {\displaystyle (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^{2}-c^{2}.} Z twierdzenia Pitagorasa wynika: ( a + b ) 2 c 2 = 2 a b . {\displaystyle (a+b)^{2}-c^{2}=2ab.} Zatem z wzorów na pole trójkąta: S = p r = 1 2 a b = a + b c 2 p {\displaystyle S=pr={\frac {1}{2}}ab={\frac {a+b-c}{2}}p} i r = a + b c 2 . {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}.}

  • Niech r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:
r + r 1 + r 2 = h . {\displaystyle r+r_{1}+r_{2}=h.}

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: r = a + b c 2 , {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}},} r 1 = y + h a 2 , {\displaystyle r_{1}={\frac {y+h-a}{2}},} r 2 = x + h b 2 , {\displaystyle r_{2}={\frac {x+h-b}{2}},} gdzie x , y {\displaystyle x,y} to długości odcinków, na które wysokość dzieli c . {\displaystyle c.} Zatem ( x + y = c ) {\displaystyle (x+y=c)} a + b c 2 + y + h a 2 + x + h b 2 = 2 h 2 {\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}+{\frac {y+h-a}{2}}+{\frac {x+h-b}{2}}={\frac {2h}{2}}}

r 1 2 + r 2 2 = r 2 , {\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r^{2},}

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

  • Niech r a , r b , r c {\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}} oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:
r = r a r b r c , {\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}},} r c = r + r a + r b . {\displaystyle r_{c}=r+r_{a}+r_{b}.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.

Bibliografia | edytuj kod

  • Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 224–225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.)
Na podstawie artykułu: "Trójkąt prostokątny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy