Translacja (matematyka)


Translacja (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku

Translacja, przesunięcieprzekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.

Definicja | edytuj kod

Niech v {\displaystyle \mathbf {v} } będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej V . {\displaystyle \mathbf {V} .}

Translacją T v {\displaystyle T_{v}} nazywamy przekształcenie dane wzorem:

T v ( x ) = x + v . {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(x)=x+\mathbf {v} .}

Wektor v {\displaystyle \mathbf {v} } nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury A {\displaystyle A} w przekształceniu T v {\displaystyle T_{v}} nazywa się translacją figury A {\displaystyle A} o wektor v {\displaystyle \mathbf {v} } i oznacza A + v . {\displaystyle A+\mathbf {v} .}

Własności | edytuj kod

Jeśli v = 0 , {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} ,} to translacja T {\displaystyle T} jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś v 0 , {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} ,} to T {\displaystyle T} nie ma żadnego punktu stałego.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowych[1] jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji T {\displaystyle T} i dowolnej izometrii G {\displaystyle G} przekształcenie G T G 1 {\displaystyle GTG^{-1}} też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).

Przypisy | edytuj kod

  1. To jest w przestrzeniach afinicznych stowarzyszonych z przestrzenią liniową wyposażoną w iloczyn skalarny.
Na podstawie artykułu: "Translacja (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy