Widmo (matematyka)


Widmo (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu a {\displaystyle a} (zwykle zespolonej) algebry z jedynką A , {\displaystyle A,} zbiór

σ A ( a ) = { λ C : λ e A a GL ( A ) } , {\displaystyle \sigma _{A}(a)=\{\lambda \in \mathbb {C} :\lambda e_{A}-a\notin {\mbox{GL}}(A)\},}

przy czym G L ( A ) {\displaystyle \mathrm {GL} (A)} oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze A {\displaystyle A} oraz e A {\displaystyle e_{A}} jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki. Widmo oznacza się również symbolem σ ( a ) , {\displaystyle \sigma (a),} jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha E , {\displaystyle E,} traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na E . {\displaystyle E.} Definicja widma ma również sens dla nieograniczonych operatorów domykalnych (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha).

Własności | edytuj kod

  • Widmo każdego elementu dowolnej zespolonej algebry Banacha jest niepustym i zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
  • Algebra Banacha jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ma skończone widmo[1].
  • Zachodzi następujący wzór Gelfanda (poniżej, ν A ( a ) {\displaystyle \nu _{A}(a)} oznacza promień spektralny elementu a {\displaystyle a} danej algebry Banacha A {\displaystyle A} ):
ν A ( a ) = max { | λ | : λ σ A ( a ) } . {\displaystyle \nu _{A}(a)=\max\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma _{A}(a)\}.}
  • Dla każdego zwartego podzbioru płaszczyzny zespolonej istnieje operator ograniczony na przestrzeni Hilberta, którego jest on widmem. Istnieją przestrzenie Banacha dla których podobne stwierdzenie jest fałszywe.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. I. Kaplansky, Ring isomorphisms of Banach algebras, „Canad. J. Math.”, 6 (1954), 374–381.
Na podstawie artykułu: "Widmo (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy