Wyznacznik


Wyznacznik w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wyznacznikfunkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M n × n ( R ) {\displaystyle M_{n\times n}(R)} o współczynnikach z pierścienia przemiennego R {\displaystyle R} pewien element tego pierścienia. Pierścieniem R {\displaystyle R} może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

a 11 , , a 1 n , , a n 1 , a n n . {\displaystyle a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{n1},\dots a_{nn}.}

Jest on wówczas wielomianem n 2 {\displaystyle n^{2}} zmiennych stopnia n {\displaystyle n} o współczynnikach z R . {\displaystyle R.}

Spis treści

Oznaczenia | edytuj kod

Wyznacznik macierzy kwadratowej M {\displaystyle M} oznaczany jest przez | M | {\displaystyle |M|} lub det M . {\displaystyle \det M.}

Dla macierzy

M = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}

stosuje się oznaczenia

| M | = | a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n | {\displaystyle |M|=\left|{\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{array}}\right|}   lub   det M = det a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n . {\displaystyle \det M=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}.}

Notacja | M | {\displaystyle |M|} jest powszechnie używana, chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy i wartości bezwzględnej.

Definicja permutacyjna | edytuj kod

Niech A M n × n ( R ) {\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} jest macierzą. Wówczas

det A = σ S n ( 1 ) I n v ( σ )   a 1 σ ( 1 ) a 2 σ ( 2 ) a n σ ( n ) , {\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},}

gdzie S n {\displaystyle S_{n}} oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru { 1 , 2 , , n } , {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\},} zaś I n v ( σ ) {\displaystyle \mathrm {Inv} (\sigma )} oznacza liczbę inwersji danej permutacji σ S n . {\displaystyle \sigma \in S_{n}.}

Przykładowo składnik a 13 a 21 a 34 a 42 {\displaystyle a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}} w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

τ = ( 1 2 3 4 3 1 4 2 ) , {\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&4&2\end{pmatrix}},}

ma trzy inwersje, mianowicie: ( 3 , 1 ) , {\displaystyle (3,1),} ( 3 , 2 ) {\displaystyle (3,2)} i ( 4 , 2 ) , {\displaystyle (4,2),} skąd I n v ( τ ) = 3 {\displaystyle \mathrm {Inv} (\tau )=3} oraz ( 1 ) 3 = 1. {\displaystyle (-1)^{3}=-1.}

Wyznacznik ogólny | edytuj kod

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

det p A = σ S n ( p ) I n v ( σ )   a 1 σ ( 1 ) a 2 σ ( 2 ) a n σ ( n ) , {\displaystyle \det _{p}A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(p)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},}

gdzie A , {\displaystyle A,} S n , {\displaystyle S_{n},} I n v ( σ ) {\displaystyle \mathrm {Inv} (\sigma )} jak wyżej.

Przykładowo dla p = 1 {\displaystyle p=-1} otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla p = 1 {\displaystyle p=1} otrzymujemy permanent.

Definicja rekurencyjna | edytuj kod

 Osobny artykuł: Rozwinięcie Laplace’a.

Niech A M n × n ( R ) {\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} jest macierzą. Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję det : M n × n ( R ) R {\displaystyle \det \colon M_{n\times n}(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} } spełniającą:

  1. jeśli n = 1 , {\displaystyle n=1,} to det A = a 11 , {\displaystyle \det A=a_{11},}
  2. jeśli n > 1 , {\displaystyle n>1,} to det A = i = 1 n ( 1 ) i + j a i j det A i , j , {\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{i,j},} gdzie j {\displaystyle j} jest dowolną liczbą naturalną z zakresu 1 j n , {\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n,} a przez A i , j {\displaystyle A_{i,j}} oznaczamy macierz stopnia n 1 , {\displaystyle n-1,} powstałą z macierzy A {\displaystyle A} poprzez skreślenie i {\displaystyle i} -tego wiersza i j {\displaystyle j} -tej kolumny (por. minor).

Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż j {\displaystyle j} -tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż i {\displaystyle i} -tego wiersza.

Definicja aksjomatyczna | edytuj kod

Niech A M n × n ( R ) {\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczone A 1 , A 2 , , A n . {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}.} Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Wyznacznikiem macierzy ( A 1 , A 2 , , A n ) {\displaystyle (A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})} jest funkcja det : M n × n ( R ) R {\displaystyle \det \colon M_{n\times n}(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} } spełniająca:

  • det ( A 1 , , k A i + k A i , A n ) = k det ( A 1 , , A i , A n ) + k det ( A 1 , , A i , A n ) , {\displaystyle \det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i}+k^{'}\cdot A_{i}^{'}\dots ,A_{n})=k\cdot \det(A_{1},\dots ,A_{i}\dots ,A_{n})+k^{'}\cdot \det(A_{1},\dots ,A_{i}^{'}\dots ,A_{n}),}
  • det ( A 1 , , A i , , A j , A n ) = det ( A 1 , , A j , A i , , A n ) , {\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}\dots ,A_{n})=-\det(A_{1},\dots ,A_{j}\dots ,A_{i},\dots ,A_{n}),}
  • det ( I ) = 1. {\displaystyle \det(I)=1.}

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty. W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.

Własności | edytuj kod

  1. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
  2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy zachowuje wartość bezwzględną jej wyznacznika, lecz zmienia jego znak.
  3. Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
  4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
  5. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn, nie zmieniamy wartości wyznacznika.
  6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: det ( A B ) = det A det B . {\displaystyle \det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B.}
  7. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: det ( A 1 ) = ( det A ) 1 . {\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}.}
  8. Zachodzi det ( k A ) = k n det A , {\displaystyle \det(k\cdot A)=k^{n}\cdot \det A,} gdzie k {\displaystyle k} jest dowolną liczbą, n {\displaystyle n} stopniem macierzy A . {\displaystyle A.}
  9. Pochodna wyznacznika wyraża się przez ślad w następujący sposób: d ( det ( A ) ) ( X ) = det ( A ) tr ( A 1 X ) {\displaystyle d(\det(A))(X)=\det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}X)}

Obliczanie wyznaczników | edytuj kod

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

det A = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 a 12 a 21 {\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

det A = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 21 a 12 a 33 a 11 a 32 a 23 a 31 a 22 a 13 {\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować rozwinięcie Laplace’a.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć, stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając, że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

  1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika.
  2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę.
  3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.

Zastosowanie wyznaczników | edytuj kod

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

Dowody niektórych własności | edytuj kod

Niech zapis

( A 1 , A i , , A n ) {\displaystyle (A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})}

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe A 1 , A i , , A n . {\displaystyle A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n}.}

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

  • pomnożenie kolumny przez k {\displaystyle k} mnoży wyznacznik macierzy przez k {\displaystyle k}
det ( A 1 , , k A i , , A n ) = k det ( A 1 , A i , , A n ) {\displaystyle \det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})=k\cdot \det(A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})}
  • dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika
det ( A 1 , , A i , , A j , , A n ) = det ( A 1 , , A i , , A j + A i , , A n ) {\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+A_{i},\dots ,A_{n})}

Wówczas

  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:
det ( A 1 , , A i , , A j , , A n ) = det ( A 1 , , A i , , A i + k A i , , A n ) {\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{i}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})}
  • Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:
det ( A 1 , , A i , , A j , , A n ) = det ( A 1 , , A j , , A i , , A n ) {\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})}
Dowód

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika. Dla k = 0 {\displaystyle k=0} dowód jest trywialny, niech więc k 0 : {\displaystyle k\neq 0{:}}

det ( A 1 , , A i , , A j , , A n ) =   1 k det ( A 1 , , k A i , , A j , , A n ) =   1 k det ( A 1 , , k A i , , A j + k A i , , A n ) =   det ( A 1 , , A i , , A j + k A i , , A n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}}

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

det ( A 1 , , A i , , A j , , A n ) =   det ( A 1 , , A i , , A j A i , , A n ) =   det ( A 1 , , A i + ( A j A i ) , , A j A i , , A n ) =   det ( A 1 , , A j , , A j A i , , A n ) =   det ( A 1 , , A j , , A j A i A j , , A n ) =   det ( A 1 , , A j , , A i , , A n ) =   det ( A 1 , , A j , , A i , , A n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i}+(A_{j}-A_{i}),\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i}-A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}}

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • A. Mostowski, M. Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975, s. 83–131, seria: Biblioteka Matematyczna tom 16.
  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 109–123. ISBN 83-89020-00-9.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (niezmiennik przekształcenia):
Na podstawie artykułu: "Wyznacznik" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy