Wzory Cramera


Wzory Cramera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Wzory Crameratwierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie) stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej (zob. Pochodne funkcji uwikłanych).

Twierdzenie | edytuj kod

Niech dany będzie układ równań liniowych

x 1 a 1 + + x n a n = b , {\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\dots +{\color {RoyalPurple}x_{n}}\mathbf {a} _{n}={\color {Maroon}\mathbf {b} },}

gdzie x = ( x 1 , , x n ) {\displaystyle {\color {RoyalPurple}\mathbf {x} }=({\color {RoyalPurple}x_{1}},\dots ,{\color {RoyalPurple}x_{n}})} oraz b = ( b 1 , , b n ) . {\displaystyle {\color {Maroon}\mathbf {b} }=({\color {Maroon}b_{1}},\dots ,{\color {Maroon}b_{n}}).}

Jeśli wyznacznik det ( a 1 , , a n ) 0 , {\displaystyle \det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})\neq 0,} to układ jest

  • oznaczony (ma jedno i tylko jedno rozwiązanie) dane wzorami: x 1 = det ( b , a 2 , , a n ) det ( a 1 , a 2 , , a n ) ,     x n = det ( a 1 , , a n 1 , b ) det ( a 1 , , a n 1 , a n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\color {RoyalPurple}x_{1}}&={\frac {\det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\;\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}{\det(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}},\\[6pt]&\ \ \vdots \\[6pt]{\color {RoyalPurple}x_{n}}&={\frac {\det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n-1},\;{\color {Maroon}\mathbf {b} })}{\det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n-1},\mathbf {a} _{n})}}.\end{aligned}}}

W przeciwnym przypadku, gdy det ( a 1 , , a n ) = 0 , {\displaystyle \det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})=0,} układ jest

  • sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający b {\displaystyle \color {Maroon}\mathbf {b} } jest różny od zera;
  • nieoznaczony (ma więcej niż jedno rozwiązanie) lub sprzeczny, gdy wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające b {\displaystyle \color {Maroon}\mathbf {b} } są równe zeru.

Dowód | edytuj kod

Lemat | edytuj kod

Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ma on niezerowy wyznacznik.

Konieczność
Dowód nie wprost. Jeśli det ( a 1 , , a n ) = 0 , {\displaystyle \det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})=0,} to układ a 1 , , a n {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}} jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor y = ( y 1 , , y n ) , {\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{n}),} dla którego y 1 a 1 + + y n a n = 0 , {\displaystyle y_{1}\mathbf {a} _{1}+\dots +y_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {0} ,} co oznacza, że ( x 1 + y 1 ) a 1 + + ( x n + y n ) a n = b , {\displaystyle ({\color {RoyalPurple}x_{1}}+y_{1})\mathbf {a} _{1}+\dots +({\color {RoyalPurple}x_{n}}+y_{n})\mathbf {a} _{n}=\color {Maroon}\mathbf {b} ,} czyli wektor x + y {\displaystyle {\color {RoyalPurple}\mathbf {x} }+\mathbf {y} } jest jeszcze jednym, różnym od x , {\displaystyle {\color {RoyalPurple}\mathbf {x} },} rozwiązaniem danego układu.
Dostateczność
Niezerowy wyznacznik, det ( a 1 , , a n ) 0 , {\displaystyle \det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})\neq 0,} pociąga liniową niezależność układu a 1 , , a n , {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n},} który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ b {\displaystyle \color {Maroon}\mathbf {b} } jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie x 1 a 1 + + x n a n = b {\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\dots +{\color {RoyalPurple}x_{n}}\mathbf {a} _{n}=\color {Maroon}\mathbf {b} } w tej bazie, zatem x {\displaystyle \color {RoyalPurple}\mathbf {x} } jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

Dowód | edytuj kod

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor x , {\displaystyle {\color {RoyalPurple}\mathbf {x} },} który spełniałby

x 1 a 1 + + x n a n = b , {\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\dots +{\color {RoyalPurple}x_{n}}\mathbf {a} _{n}={\color {Maroon}\mathbf {b} },}

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

det ( b , a 2 , , a n ) = det ( i = 1 n x i a i , a 2 , , a n ) = i = 1 n x i det ( a i , a 2 , , a n ) , {\displaystyle \det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})=\det \left(\sum _{i=1}^{n}{\color {RoyalPurple}x_{i}}\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\color {RoyalPurple}x_{i}}\det(\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n}),}

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

det ( b , a 2 , , a n ) = x 1 det ( a 1 , a 2 , , a n ) , {\displaystyle \det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})={\color {RoyalPurple}x_{1}}\det(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n}),}

skąd jest

x 1 = det ( b , a 2 , , a n ) det ( a 1 , a 2 , , a n ) . {\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}={\frac {\det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\;\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}{\det(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}}.}

Pozostałe współrzędne wektora x {\displaystyle \color {RoyalPurple}\mathbf {x} } otrzymuje się analogicznie.

Przykłady | edytuj kod

Układy małych stopni | edytuj kod

Układ równań

{ a x + b y = e c x + d y = f {\displaystyle {\begin{cases}a{\color {RoyalPurple}x}+b{\color {RoyalPurple}y}=\color {Maroon}e\\c{\color {RoyalPurple}x}+d{\color {RoyalPurple}y}=\color {Maroon}f\end{cases}}}

zapisany w postaci macierzowej ma postać

a b c d x y = e f . {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {RoyalPurple}x\\\color {RoyalPurple}y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\color {Maroon}e\\\color {Maroon}f\end{bmatrix}}.}

Jego rozwiązania mają wtedy postać

x = | e b f d | / | a b c d | = e d b f a d b c {\displaystyle {\color {RoyalPurple}x}={\begin{vmatrix}\color {Maroon}e&b\\\color {Maroon}f&d\end{vmatrix}}{\Bigg /}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={\frac {{\color {Maroon}e}d-b{\color {Maroon}f}}{ad-bc}}}

oraz

y = | a e c f | / | a b c d | = a f e c a d b c . {\displaystyle {\color {RoyalPurple}y}={\begin{vmatrix}a&\color {Maroon}e\\c&\color {Maroon}f\end{vmatrix}}{\Bigg /}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={\frac {a{\color {Maroon}f}-{\color {Maroon}e}c}{ad-bc}}.}

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

{ a x + b y + c z = j d x + e y + f z = k g x + h y + i z = l {\displaystyle {\begin{cases}a{\color {RoyalPurple}x}+b{\color {RoyalPurple}y}+c{\color {RoyalPurple}z}=\color {Maroon}j\\d{\color {RoyalPurple}x}+e{\color {RoyalPurple}y}+f{\color {RoyalPurple}z}=\color {Maroon}k\\g{\color {RoyalPurple}x}+h{\color {RoyalPurple}y}+i{\color {RoyalPurple}z}=\color {Maroon}l\end{cases}}}

zapisuje się w postaci macierzowej jako

a b c d e f g h i x y z = j k l , {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {RoyalPurple}x\\\color {RoyalPurple}y\\\color {RoyalPurple}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\color {Maroon}j\\\color {Maroon}k\\\color {Maroon}l\end{bmatrix}},}

a jego rozwiązaniami są wtedy

x = | j b c k e f l h i | | a b c d e f g h i | , y = | a j c d k f g l i | | a b c d e f g h i |  oraz  z = | a b j d e k g h l | | a b c d e f g h i | . {\displaystyle {\color {RoyalPurple}x}={\frac {\begin{vmatrix}\color {Maroon}j&b&c\\\color {Maroon}k&e&f\\\color {Maroon}l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad {\color {RoyalPurple}y}={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {Maroon}j&c\\d&\color {Maroon}k&f\\g&\color {Maroon}l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\quad {\mbox{ oraz }}{\color {RoyalPurple}z}={\frac {\begin{vmatrix}a&b&\color {Maroon}j\\d&e&\color {Maroon}k\\g&h&\color {Maroon}l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}

Pochodne funkcji uwikłanych | edytuj kod

 Zobacz też: funkcja uwikłana.

Niech dane będą dwa równania F ( x , y , u , v ) = 0 {\displaystyle F(x,y,u,v)=0} oraz G ( x , y , u , v ) = 0. {\displaystyle G(x,y,u,v)=0.} Jeśli u {\displaystyle u} oraz v {\displaystyle v} są zmiennymi niezależnymi, to bywa, że x {\displaystyle x} oraz y {\displaystyle y} dają wyrazić jako x = X ( u , v ) {\displaystyle x=X(u,v)} oraz y = Y ( u , v ) . {\displaystyle y=Y(u,v).} Wówczas wzory Cramera umożliwiają znalezienie równania opisującego x u . {\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial u}}.}

Mając na celu wyznaczenie wspomnianej pochodnej, należy w pierwszej kolejności obliczyć pochodne F , {\displaystyle F,} G , {\displaystyle G,} x {\displaystyle x} oraz y , {\displaystyle y,} za pomocą których zostanie ona wyrażona:

d F = F x d x + F y d y + F u d u + F v d v = 0 d G = G x d x + G y d y + G u d u + G v d v = 0 d x = X u d u + X v d v d y = Y u d u + Y v d v . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial F}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial F}{\partial v}}\mathrm {d} v=0\\[6pt]\mathrm {d} G&={\frac {\partial G}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial G}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial G}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial G}{\partial v}}\mathrm {d} v=0\\[6pt]\mathrm {d} x&={\frac {\partial X}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial X}{\partial v}}\mathrm {d} v\\[6pt]\mathrm {d} y&={\frac {\partial Y}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial Y}{\partial v}}\mathrm {d} v.\end{aligned}}}

Podstawiając d x {\displaystyle \mathrm {d} x} oraz d y {\displaystyle \mathrm {d} y} do równań na d F {\displaystyle \mathrm {d} F} oraz d G {\displaystyle \mathrm {d} G} otrzymuje się:

d F = ( F x x u + F y y u + F u ) d u + ( F x x v + F y y v + F v ) d v = 0 d G = ( G x x u + G y y u + G u ) d u + ( G x x v + G y y v + G v ) d v = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0\\[6pt]\mathrm {d} G&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0.\end{aligned}}}

Ponieważ u {\displaystyle u} i v {\displaystyle v} są niezależne, to współczynniki przy d u {\displaystyle \mathrm {d} u} i d v {\displaystyle \mathrm {d} v} muszą być zerami; oznacza to, że powyższe równania można zapisać jako równania na współczynniki:

F x x u + F y y u = F u G x x u + G y y u = G u F x x v + F y y v = F v G x x v + G y y v = G v . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}.\end{aligned}}}

Ze wzorów Cramera wynika teraz

x u = | F u F y G u G y | | F x F y G x G y | = ( F , G ) ( u , y ) ( F , G ) ( x , y ) , {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&\quad {\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\quad {\frac {\partial F}{\partial x}}&\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}\\\quad {\frac {\partial G}{\partial x}}&\quad {\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}={\frac {-{\dfrac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}}{\quad {\dfrac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}}},}

czyli szukaną pochodną można wyrazić w postaci ilorazu dwóch jakobianów.

Podobne wzory można wyprowadzić dla x v , y u , y v . {\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial v}},{\tfrac {\partial y}{\partial u}},{\tfrac {\partial y}{\partial v}}.}

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Wzory Cramera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy