±


Znak plus-minus w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z ±) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania ±

Znak plus-minus (±) jest symbolem matematycznym o wielu znaczeniach.

Spis treści

Historia | edytuj kod

Wersja znaku plus-minus, łącznie z francuskim słowem ou („lub”), była użyta przez matematyka Alberta Girarda w 1626 roku. Współczesna forma była użyta już w 1631 roku w Clavis Mathematicae Williama Oughtreda[7].

Użycie | edytuj kod

Matematyka | edytuj kod

We wzorach matematycznych znak ± może zostać zastosowany jako zastępstwo znaków + i -. Pozwala to przedstawić dwie wartości lub równania naraz[8].

Przykładowo, jednym ze sposobów na zapisanie wyniku równania x 2 = 9 , {\displaystyle x^{2}=9,} może być x = ± 3. {\displaystyle x=\pm 3.} Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania, które można otrzymać poprzez zastąpienie x = ± 3 {\displaystyle x=\pm 3} przez x = + 3 {\displaystyle x=+3} lub x = 3. {\displaystyle x=-3.} Tylko jedno z tych dwóch zastąpionych równań jest prawdziwe dla dowolnego prawidłowego rozwiązania.

Użycie tego typu notacji można zobaczyć we wzorze na miejsce zerowe funkcji kwadratowej:

x = b ± b 2 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Opisuje on dwa rozwiązania równania kwadratowego: a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}

Również tożsamość trygonometryczna:

sin ( A ± B ) = sin ( A ) cos ( B ) ± cos ( A ) sin ( B ) {\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)}

może być zinterpretowana jako skrót dla dwóch równań: jednego z + po obu stronach równania, oraz jednego z - po obu stronach równania. Obie kopie znaku ± w tej tożsamości muszą być zastąpione w ten sam sposób: nie można zamienić jednego z nich na +, a drugiego na -. W przeciwieństwie do funkcji kwadratowej, oba równania tożsamości są tak samo poprawne.

Znak minus-plus () jest zazwyczaj używany w połączeniu ze znakiem ±, w wyrażeniach takich jak: x ± y z {\displaystyle x\pm y\mp z}

  • x ± y z {\displaystyle x\pm y\mp z} może oznaczać x + y z {\displaystyle x+y-z} oraz x y + z {\displaystyle x-y+z}
  • x ± y z {\displaystyle x\pm y\mp z} nie może oznaczać x + y + z {\displaystyle x+y+z} oraz x y z {\displaystyle x-y-z}
  • x ± y z {\displaystyle x\pm y\mp z} można zapisać jako x ± ( y z ) , {\displaystyle x\pm (y-z),} aby uniknąć nieporozumienia, jednak w przypadku tożsamości najlepiej używać znaku

Przykładowo: cos ( A ± B ) = cos ( A ) cos ( B ) sin ( A ) sin ( B ) {\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)}

reprezentuje dwa równania:

cos ( A + B ) = cos ( A ) c o s ( B ) sin ( A ) sin ( B ) , {\displaystyle \cos(A+B)=\cos(A)cos(B)-\sin(A)\sin(B),} cos ( A B ) = cos ( A ) c o s ( B ) + sin ( A ) sin ( B ) . {\displaystyle \cos(A-B)=\cos(A)cos(B)+\sin(A)\sin(B).}

Innym przykładem, w którym pojawia się znak , jest: x 3 ± 1 = ( x ± 1 ) ( x 2 x + 1 ) . {\displaystyle x^{3}\pm 1=(x\pm 1)(x^{2}\mp x+1).}

Jeszcze jedno pokrewne zastosowanie można zauważyć we wzorze na sinus szeregu Taylora:

sin ( x ) = x x 3 3 ! + x 5 5 ! x 7 7 ! + ± 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + {\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\dots }

W tym przypadku znak ± zaznacza, że termin może być dodany lub ujęty, w zależności od tego czy n {\displaystyle n} jest parzyste, czy nieparzyste. Innym sposobem zapisania tego samego wzoru byłoby pomnożenie każdego elementu przez ( 1 ) n . {\displaystyle (-1)^{n}.}

Statystyka | edytuj kod

Znak ± używany jest najczęściej przy przybliżonym przedstawianiu wartości liczbowej ilości, razem z jej tolerancją lub ze statystycznym marginesem błędu[3]. Przykładowo, 5 , 7 ± 0 , 2 {\displaystyle 5{,}7\pm 0{,}2} może znajdować się w dowolnym miejscu w zakresie od 5,5 do 5,9. W użyciu naukowym, ± odnosi się czasem do prawdopodobieństwa znalezienia się w podanym przedziale, odpowiadającym 1 lub 2 odchyleniom standardowym (68,3% lub 95,4% prawdopodobieństwo w rozkładzie Gaussa).

Operacje zawierające niepewne wartości powinny dążyć do zatrzymania niepewności, aby unikać propagacji błędu.

Szachy | edytuj kod

Symbole ± oraz są używane w notacji szachowej aby określić przewagę białych lub czarnych. Zazwyczaj używane są one do pokazania większej przewagi, niż w przypadku użycia + i -.

Kodowanie i wpisywanie | edytuj kod

Podobne znaki | edytuj kod

Symbol plus-minus przypomina chińskie znaki 土 („ziemia”) oraz 士 („uczeń”; „kawaler”)[9][10].

Przypisy | edytuj kod

  1. Compendium of Mathematical Symbols, Math Vault, 1 marca 2020 [dostęp 2020-09-05]  (ang.).
  2. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Plus or Minus, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-09-05]  (ang.).
  3. a b George W.G.W. Brown George W.G.W., Standard Deviation, Standard Error, „American Journal of Diseases of Children”, 136 (10), 1982, s. 937, DOI10.1001/archpedi.1982.03970460067015, ISSN 0002-922X [dostęp 2020-09-05] .
  4. Engineering Tolerances | Limits, Fits and GD&T Explained, Fractory, 31 lipca 2020 [dostęp 2020-09-05]  (ang.).
  5. Jeffrey L.J.L. Bada Jeffrey L.J.L., Racemic Mixture, 2015 .
  6. JamesJ. Eade JamesJ., Chess For Dummies, Wiley, 5 sierpnia 2005, ISBN 978-0-471-77433-4 [dostęp 2020-09-05]  (ang.).
  7. FlorianF. Cajori FlorianF., A History of Mathematical Notations, Courier Corporation, 1993, ISBN 978-0-486-67766-8 [dostęp 2020-09-05]  (ang.).1 stycznia
  8. Definition of PLUS/MINUS SIGN, www.merriam-webster.com [dostęp 2020-09-05]  (ang.).
  9. 土 po polsku – Słownik Chińsko-Polski | Glosbe, pl.glosbe.com [dostęp 2020-09-05]  (pol.).
  10. 士 po polsku – Słownik Chińsko-Polski | Glosbe, pl.glosbe.com [dostęp 2020-09-05]  (pol.).
Na podstawie artykułu: "±" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy