Łańcuch kinematyczny


Łańcuch kinematyczny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Łańcuch kinematyczny – część mechanizmu w postaci kilku połączonych ze sobą członów tworzących jedną lub wiele par kinematycznych[1], realizujący zdefiniowane przeniesienie ruchu.

Łańcuchy kinematyczne dzielą się na:

  • kinematyczne płaskie,
  • kinematyczne przestrzenne.

Spis treści

Własności ogólne | edytuj kod

Podstawową cechą łańcucha kinematycznego jest jego ruchliwość. Ruchliwość określa ile stopni swobody posiada łańcuch, to znaczy ile różnych typów ruchu jest w stanie przenieść.

Ruchliwość w {\displaystyle w} może być:

Ruchliwość łańcucha oblicza się ze wzoru strukturalnego:

  • dla łańcucha przestrzennego:
w = 6 ( n 1 ) p 1 2 p 2 3 p 3 4 p 4 5 p 5 , {\displaystyle w=6(n-1)-p_{1}-2p_{2}-3p_{3}-4p_{4}-5p_{5},} uwaga: od liczby ogniw n {\displaystyle n} odejmuje się 1 w przypadku, gdy nie zalicza się do niej nieruchomej podstawy.
  • dla łańcucha płaskiego:
w = 3 n p 4 2 p 5 , {\displaystyle w=3n-p_{4}-2p_{5},} gdzie: n {\displaystyle n} – liczba ogniw, p n {\displaystyle p_{n}} – ilość par kinematycznych n {\displaystyle n} -tej klasy.

Interpretacja ruchliwości obliczonej ze wzoru strukturalnego wymaga pewnego doświadczenia, w szczególności gdy wskazuje on, iż łańcuch kinematyczny jest sztywny. Taka sytuacja jest oczywista w przypadku a. W pewnych przypadkach jednak, przy szczególnej geometrii, łańcuch teoretyczne sztywny może przenosić ruch (przypadek b). Strukturalnie jest on identyczny z a, lecz występują w nim trzy geometrycznie identyczne człony co umożliwia ruch łańcucha. Para kinematyczna, która powinna łańcuch usztywniać (wskazana czerwoną strzałką) jest węzłem biernym. Projektując mechanizm z węzłami biernymi, konstruktor musi zdawać sobie sprawę, że zużycie elementów mechanizmu, prowadzące do drobnych zmian w ich geometrii, może doprowadzić do usztywnienia mechanizmu. Łańcuch kinematyczny sztywny, aczkolwiek teoretycznie takim jest w praktyce jest stosowany jako konstrukcja służąca wyłącznie do przenoszenia obciążenia, a nie ruchu i nie jest przedmiotem teorii mechanizmów i maszyn, lecz wytrzymałości materiałów i teorii konstrukcji.

Łańcuch kinematyczny o ruchliwości równej jeden jest najczęstszym przypadkiem mechanizmu. Rodzaj ruchu członu czynnego determinuje wtedy ruch członu biernego i wszystkich członów pośredniczących. Rysunek c pokazuje typowy czworobok przegubowy o ruchliwości równej jeden.

W pewnych przypadkach wymagane jest by mechanizm miał większą ruchliwość. Typowym tego przykładem jest przekładnia obiegowa d, lub mechanizm kreślarski e. Istnieją przypadki, że w bardzo odpowiedzialnych mechanizmach powiększa się ruchliwość normalnie zabezpieczoną bezpiecznikiem, by uniknąć samousztywnienia się mechanizmu w wyniku zużycia lub odkształcenia elementów. Gdy sytuacja taka zaistnieje bezpiecznik uruchamia dodatkową parę. Mechanizm może wtedy stracić swoją funkcjonalność, lecz unika się wtedy trwałego zniszczenia mechanizmu lub środowiska w jakim pracuje.

Analiza ruchliwości | edytuj kod

Badanie ruchliwości łańcucha kinematycznego może być przeprowadzone analitycznie. Ograniczając analizę do przypadku łańcuchów płaskich (dwuwymiarowych) założymy, że jego ogniwa są prętami prostymi, odkształcalnymi osiowo i połączonymi ze sobą w węzłach za pomocą idealnych przegubów. Do rozważań wprowadzimy dwa wektory

d = d 1 , d 2 , , d m {\displaystyle \mathbf {d} =[d_{1},d_{2},\dots ,d_{m}]} – liniowo niezależnych przemieszczeń węzłowych i s = s 1 , s 2 , , s n {\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}]} – wydłużeń/skróceń ogniw spowodowanych przemieszczeniami węzłowymi.

W celu uproszczenia zapisu wektory będziemy zapisywali albo wierszowo albo kolumnowo jeżeli nie będzie to prowadziło do nieporozumień.

Analiza ruchliwości węzłów łańcucha polega na badaniu rozwiązań układu równań

(a) A d = s . {\displaystyle {}\quad \mathbf {Ad} =\mathbf {s} .}

Macierz zgodności przemieszczeń węzłowych A , {\displaystyle \mathbf {A} ,} występująca w tym równaniu, może być utworzona na podstawie interpretacji jej kolumn. Rozważmy mianowicie węzeł łańcucha, w którym występują dwa przemieszczenia d i {\displaystyle d_{i}} i d j {\displaystyle d_{j}} (rys. 1a-b). Związek (a) przyjmuje dla tego przypadku postać

A d = s s k i s k j s l i s l j s m i s m j d i d j = s k s l s m . {\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {s} \quad \to \quad {\begin{bmatrix}s_{ki}&s_{kj}\\s_{li}&s_{lj}\\s_{mi}&s_{mj}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{i}\\d_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{k}\\s_{l}\\s_{m}\end{bmatrix}}.} Rys. 1a-b – warunki zgodności przemieszczeń węzłowych

Elementy s k i , s l i , s m i {\displaystyle s_{ki},s_{li},s_{mi}} są wydłużeniami/skróceniami odpowiednio k {\displaystyle k} -tego, l {\displaystyle l} -tego i m {\displaystyle m} -tego elementu ogniwa łańcucha, spowodowanymi przez i {\displaystyle i} -te przemieszczenie węzłowe d i = 1 {\displaystyle d_{i}=1} (rys. 1a). Analogicznie elementy s k j , s l j , s m j {\displaystyle s_{kj},\;s_{lj},\;s_{mj}} są skutkami spowodowanymi przez przemieszczenie węzłowe d j = 1 {\displaystyle d_{j}=1} (rys. 1b). Elementy s k , s l , s m {\displaystyle s_{k},\;s_{l},\;s_{m}} są sumarycznymi skutkami równoczesnego działania przemieszczeń d i {\displaystyle d_{i}} i d j . {\displaystyle d_{j}.}

Jeżeli wydłużeniom ogniw przypiszemy znak plus, a skróceniom – minus, to na podstawie rys. 1a-b otrzymamy

s k i = + cos ( k , i ) , s l i = cos ( l , i ) , s m i = cos ( m , i ) , {\displaystyle s_{ki}=+\cos(k,i),\quad s_{li}=-\cos(l,i),\quad s_{mi}=-\cos(m,i),\quad {}} – (rys. 1a), s k j = + cos ( k , j ) , s l j = cos ( l , j ) , s m j = + cos ( m , j ) , {\displaystyle s_{kj}=+\cos(k,j),\quad s_{lj}=-\cos(l,j),\quad s_{mj}=+\cos(m,j),\quad {}} – (rys. 1b).

W rzeczywistym łańcuchu kinematycznym jego ogniwa mają niezmienną długość, a to znaczy, że s = 0 . {\displaystyle \mathbf {s} =\mathbf {0} .} Badaniu ruchliwości łańcucha kinematycznego należy więc poddać nie układ równań (a), lecz (b)

(b) A d = 0 . {\displaystyle {}\quad \mathbf {Ad} =\mathbf {0} .}

Z algebry liniowej wiadomo, że liczba liniowo niezależnych niezerowych rozwiązań takiego układu równań jest równa defektowi badanej macierzy. Pod tym terminem rozumiemy różnicę pomiędzy stopniem, a rzędem macierzy. W przypadku macierzy prostokątnych o rozmiarach m × n {\displaystyle m\times n} stopniem nazwiemy mniejszą z liczb m {\displaystyle m} i n . {\displaystyle n.}

Przykład 1 | edytuj kod

Dla przykładu rozważymy układ pokazany na rys. 2a[2].

Rys. 2a – łańcuch kinematyczny o ruchliwości w = 1. {\displaystyle w=1.} Rys. 2b-f – szkice ilustrujące budowanie kolumn macierzy A . {\displaystyle \mathbf {A} .}

Na podstawie rys. 2b-f kolejno budujemy kolumny macierzy A : {\displaystyle \mathbf {A} {:}}

A d = sin ( α ) cos ( α ) 0 0 0 cos ( β ) sin ( β ) cos ( β ) sin ( β ) 0 0 0 sin ( γ ) cos ( γ ) 0 0 0 cos ( β ) sin ( β ) 1 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 = 0. {\displaystyle \mathbf {Ad} ={\begin{bmatrix}\sin(\alpha )&-\cos(\alpha )&0&0&0\\-\cos(\beta )&\sin(\beta )&\cos(\beta )&-\sin(\beta )&0\\0&0&-\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )&0\\0&0&-\cos(\beta )&\sin(\beta )&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\\d_{5}\end{bmatrix}}=0.}

Łatwo można sprawdzić, że przyjęcie d 1 = 1 {\displaystyle d_{1}=1} pozwala wyznaczyć jednoznacznie wartości pozostałych niewiadomych przemieszczeń węzłowych, które wynoszą:

Dla łańcucha o pionowych „słupkach” ( α = γ = 0 ) {\displaystyle (\alpha =\gamma =0)} otrzymuje się

d 1 = d 3 = 1 , d 2 = d 4 = 0 , d 5 = cos ( β ) . {\displaystyle d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=d_{4}=0,\quad d_{5}=\cos(\beta ).}

Dla łańcucha o „słupkach” równoległych ( γ = α ) {\displaystyle (\gamma =-\alpha )} jest

d 1 = d 3 = 1 , d 2 = tg ( α ) , d 5 = cos ( β ) tg ( α ) sin ( β ) . {\displaystyle d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),\quad d_{5}=\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta ).}

Dla łańcucha z „ryglem” poziomym ( β = 0 ) {\displaystyle (\beta =0)}

d 1 = d 3 = 1 , d 2 = tg ( α ) , d 4 = tg ( γ ) , d 5 = 1. {\displaystyle d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),\quad d_{4}=-\operatorname {tg} (\gamma ),\quad d_{5}=1.}

Przykład 2 | edytuj kod

W przypadku łańcuchów wielokrotnie przesuwnych sprawa nieco się komplikuje co zilustrujemy na przykładzie łańcucha „piętrowego” z rys. 3a[2]. Wygenerowana kolumnowo macierz zgodności przemieszczeń węzłowych A {\displaystyle \mathbf {A} } ma postać

A = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&-1\\0&0&0&0&-1&0&1&0\end{bmatrix}}.} Rys. 3a – schemat łańcucha o ruchliwości w=2. Rys. 3b-c – dwa rodzaje przemieszczeń bazowych. Rys. d – nowy rodzaj przemieszczenia (przykładowa kombinacja liniowa).

Rozwiązując układ równań A d = 0 {\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} } za pomocą algorytmu Gaussa-Jordana z pełnym wyborem elementów wiodących stwierdzamy, że ma on rozwiązanie

d 1 = d 3 , d 5 = d 7 , d 2 = d 4 = d 6 = d 8 = 0. {\displaystyle d_{1}=d_{3},\quad d_{5}=d_{7},\quad d_{2}=d_{4}=d_{6}=d_{8}=0.}

Oznacza to, że przemieszczenia d 3 {\displaystyle d_{3}} i d 7 {\displaystyle d_{7}} mogą spełniać rolę zmiennych swobodnych. Dzięki temu otrzymujemy w tym przypadku dwa rozwiązania podstawowe (bazowe)

d 1 = 1 0 1 0 0 0 0 0 , d 2 = 0 0 0 0 1 0 1 0 . {\displaystyle \mathbf {d_{1}^{*}} =[1\;0\;1\;0\;0\;0\;0\;0],\quad \mathbf {d_{2}^{*}} =[0\;0\;0\;0\;1\;0\;1\;0].}

Dowolna kombinacja liniowa tych rozwiązań o postaci

d 1 = α d 1 + β d 2 , | α | + | β | 0 , {\displaystyle \mathbf {d_{1}^{*}} =\alpha \mathbf {d_{1}^{*}} +\beta \mathbf {d_{2}^{*}} ,\quad |\alpha |+|\beta |\neq 0,}

jest nowym rozwiązaniem równania A d = 0 . {\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} .}

Na rys. 3b-c pokazano mechaniczne interpretacje rozwiązań bazowych d 1 {\displaystyle \mathbf {d_{1}^{*}} } i d 2 , {\displaystyle \mathbf {d_{2}^{*}} ,} natomiast rys. 3d przedstawia przykładowe nowe rozwiązanie w postaci najprostszej kombinacji liniowej

d 3 = d 1 + d 2 = 1 0 1 0 1 0 1 0 . {\displaystyle \mathbf {d_{3}^{*}} =\mathbf {d_{1}^{*}} +\mathbf {d_{2}^{*}} =[1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0].}

Przykład 3 | edytuj kod

Generowanie macierzy zgodności przemieszczeń węzłowych A {\displaystyle \mathbf {A} } można przeprowadzić według takiego algorytmu postępowania, który bez żadnych zmian pozwala analizować ruchliwość zarówno łańcuchów płaskich, jak i przestrzennych. Podstawą tego algorytmu jest spostrzeżenie, że zmiana długości s i j {\displaystyle s_{ij}} ogniwa i {\displaystyle i} wywołana jednostkowym przemieszczeniem węzła j {\displaystyle j} wyraża się prostym iloczynem skalarnym

(c) s i j = ± e i d j = ± cos ( i , j ) , {\displaystyle {}\quad s_{ij}=\pm \;{\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {d}}_{j}=\pm \cos(i,j),}

w którym przez e i {\displaystyle {\vec {e}}_{i}} oznaczono wersor kierunku ogniwa, a przez d j {\displaystyle {\vec {d}}_{j}} wersor kierunku przemieszczenia węzłowego.

Znak we wzorze (c) przypiszemy według następującego kryterium:

(A) – gdy ogniwo i {\displaystyle i} ma kierunek „do węzła” j , {\displaystyle j,} wtedy we wzorze (c) obowiązuje znak plus. Dla ogniwa skierowanego „od węzła” przypiszemy znak minus. To kryterium znakowania we wzorze (c) wymaga przyporządkowania każdemu ogniwu i {\displaystyle i} konkretnego wersora kierunku e i . {\displaystyle {\vec {e}}_{i}.}

W celu uproszczenia zapisu będziemy operować tylko tymi wektorami dwuwymiarowymi, które mają co najmniej jedną współrzędną niezerową (rys. 2a).

I tak dla łańcucha z przykładu 1 mamy

e 1 = sin ( α ) , cos ( α ) , e 2 = cos ( β ) , sin ( β ) , {\displaystyle {\vec {e}}_{1}=[\sin(\alpha ),\;-\cos(\alpha )],\qquad {\vec {e}}_{2}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )],} e 3 = sin ( γ ) , cos ( γ ) , e 4 = cos ( β ) , sin ( β ) {\displaystyle {\vec {e}}_{3}=[\sin(\gamma ),\;\cos(\gamma )],\qquad {\vec {e}}_{4}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )]}

oraz

d 1 = 1 , 0 , d 2 = 0 , 1 , d 3 = 1 , 0 , d 4 = 0 , 1 , d 5 = cos ( β ) , sin ( β ) . {\displaystyle {\vec {d}}_{1}=[1,\;0],\quad {\vec {d}}_{2}=[0,\;1],\quad {\vec {d}}_{3}=[1,\;0],\quad {\vec {d}}_{4}=[0,\;1],\quad {\vec {d}}_{5}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )].}

Na podstawie wzoru (c) otrzymujemy

A = + e 1 d 1 + e 1 d 2 0 0 0 e 2 d 1 e 2 d 2 + e 2 d 3 + e 2 d 4 0 0 0 e 3 d 3 e 3 d 4 0 0 0 e 4 d 3 e 4 d 4 + e 4 d 5 . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}+{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{1}&+{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}&0&0&0\\-{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{1}&-{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{2}&+{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{3}&+{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{4}&0\\0&0&-{\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {d}}_{3}&-{\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {d}}_{4}&0\\0&0&-{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{3}&-{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{4}&+{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{5}\end{bmatrix}}.}

Po obliczeniu iloczynów skalarnych możemy stwierdzić, że otrzymany wynik jest identyczny z uzyskanym w przykładzie 1.

Rys. 4a – przestrzenny łańcuch kinematyczny

Stosując to wektorowe podejście przeprowadzimy teraz analizę łańcucha przestrzennego z rys. 4a. Jedyna różnica będzie polegać tylko na tym, że wektory e i {\displaystyle {\vec {e}}_{i}} i d j {\displaystyle {\vec {d}}_{j}} będą teraz miały po trzy współrzędne.

Współrzędne wersorów dla poszczególnych ogniw można obliczyć na podstawie geometrii układu określonej wysokością O S ¯ = L {\displaystyle {\overline {OS}}=L} i połową przekątnej kwadratowej podstawy O A ¯ = L . {\displaystyle {\overline {OA}}=L.}

e 1 = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 , e 2 = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 , {\displaystyle {\vec {e}}_{1}=[-1/2\;\;1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],\quad {\vec {e}}_{2}=[-1/2\;\;-1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],} e 3 = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 , e 4 = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 , {\displaystyle {\vec {e}}_{3}=[1/2\;\;-1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],\quad {\vec {e}}_{4}=[1/2\;\;1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],} d 1 = 1 0 0 , d 2 = 0 1 0 , d 3 = 0 0 1 , d 4 = 1 0 0 , {\displaystyle {\vec {d}}_{1}=[1\;\;0\;\;0],\quad {\vec {d}}_{2}=[0\;\;1\;\;0],\quad {\vec {d}}_{3}=[0\;\;0\;\;1],\quad {\vec {d}}_{4}=[1\;\;0\;\;0],} d 5 = 0 1 0 , d 6 = 1 0 0 , d 7 = 0 1 0 . {\displaystyle {\vec {d}}_{5}=[0\;\;1\;\;0],\quad {\vec {d}}_{6}=[1\;\;0\;\;0],\quad {\vec {d}}_{7}=[0\;\;1\;\;0].}

Elementy macierzy A {\displaystyle \mathbf {A} } obliczamy na podstawie wzoru (c) z przypisaniem znaków według kryterium (A):

(d) A = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 0 0 0 0 1 / 2 1 / 2 2 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 2 / 2 0 0 0 0 . {\displaystyle {}\quad \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&0&0\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&1/2&1/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&1/2&0&0\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}

Rozważymy teraz kilka różnych przypadków:

Przypadek 1

Załóżmy, że d 4 = d 5 = d 6 = d 7 = 0. {\displaystyle d_{4}=d_{5}=d_{6}=d_{7}=0.} Oznacza to, że węzły B i C są unieruchomione i układ równań A d = 0 {\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} } ma w tym przypadku postać

A = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 1 / 2 2 / 2 d 1 d 2 d 3 = 0 . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .}

Łatwo można sprawdzić, że istnieje taki minor M ( 3 × 3 ) {\displaystyle \mathbf {M} (3\times 3)} macierzy A , {\displaystyle \mathbf {A} ,} że Det ( M ) 0. {\displaystyle \operatorname {Det} (\mathbf {M} )\neq 0.} Wynika stąd wniosek, że jedynymi rozwiązaniami równania A d = 0 {\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} } są w tym przypadku d 1 = d 2 = d 3 = 0. {\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=0.} Oznacza to, że unieruchomienie węzłów B i C powoduje unieruchomienie całego łańcucha (brak ruchliwości).

Przypadek 2

Uwzględnimy teraz występowanie w węzłach B i C przemieszczeń tylko w kierunku osi 0 x 2 {\displaystyle 0x_{2}} tzn. przyjmiemy, że d 4 = d 6 = 0. {\displaystyle d_{4}=d_{6}=0.} Wynika stąd taka postać układu równań

(e) A = 1 / 2 1 / 2 2 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 2 / 2 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 2 / 2 0 0 d 1 d 2 d 3 d 5 d 7 = 0 . {\displaystyle {}\quad \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&0&1/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{5}\\d_{7}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .}

Przyjmijmy, że zostało wywołane przemieszczenie d 5 = 1. {\displaystyle d_{5}=1.} Przyjęcie to umożliwia jednoznaczne rozwiązanie układu równań (e)

d = d 1 d 2 d 3 d 5 d 7 = 0 1 / 2 2 / 4 1 1 , {\displaystyle \mathbf {d} =[d_{1}\;\;d_{2}\;\;d_{3}\;\;d_{5}\;\;d_{7}]=[0\;\;\;1/2\;\;-{\sqrt {2}}/4\;\;\;1\;\;\;1],}

co oznacza, że łańcuch ma jeden stopień swobody ruchu.

Przypadek 3

Przy tym samym założeniu co w przypadku 2, tzn. że d 4 = d 6 = 0 {\displaystyle d_{4}=d_{6}=0} wymusimy przemieszczenie d 3 = 1. {\displaystyle d_{3}=1.} I tym razem istnieje jednoznaczne rozwiązanie

d = d 1 d 2 d 3 d 5 d 7 = 0 2 1 2 2 2 2 . {\displaystyle \mathbf {d} =[d_{1}\;\;d_{2}\;\;d_{3}\;\;d_{5}\;\;d_{7}]=[0\;\;-{\sqrt {2}}\quad 1\;\;-2{\sqrt {2}}\;\;-2{\sqrt {2}}].}

Obydwa rozwiązania z przypadków 2 i 3 różnią się tylko stałym mnożnikiem 2 2 {\displaystyle -2{\sqrt {2}}} co tylko potwierdza podobieństwo obu stanów przemieszczenia w układzie o jednym stopniu swobody ruchu.

Algorytm alternatywny | edytuj kod

Przytoczymy teraz inny, statyczny sposób generowania macierzy A . {\displaystyle \mathbf {A} .} Skorzystamy w tym celu z równań równowagi węzłów wyciętych z łańcucha, które można zapisać w postaci

(f) B S = D , {\displaystyle {}\quad \mathbf {BS} =\mathbf {D} ,}

przy czym

S = S 1 , S 2 , , S n {\displaystyle \mathbf {S} =[S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}]\quad -} jest wektorem sił osiowych w ogniwach, a D = D 1 , D 2 , , D m {\displaystyle \mathbf {D} =[D_{1},D_{2},\dots ,D_{m}]\quad -} wektorem sił węzłowych. Rys. 5a-b – Statyczny wariant analizy ruchliwości łańcucha kinemtycznego

Dla przykładu rozważymy równanie równowagi sił działających na wycięty węzeł W {\displaystyle W} (rys. 5a) w kierunku określonym przez jego wersor d i = 1. {\displaystyle {\vec {d}}_{i}=1.} Równanie to otrzymamy sumując rzuty na ten kierunek wszystkich sił S α , α ( k , l , m ) . {\displaystyle S_{\alpha },\;\alpha \in (k,l,m).}

D i = + ( d i e k ) S k ( d i e l ) S l ( d i e m ) S m = s i k S k s i l S l s i m S m . {\displaystyle D_{i}=+({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{k})S_{k}-({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{l})S_{l}-({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{m})S_{m}=s_{ik}S_{k}-s_{il}S_{l}-s_{im}S_{m}.}

Podobnie mamy dla kierunku d j {\displaystyle {\vec {d}}_{j}} (rys. 5b)

D j = + ( d j e k ) S k ( d j e l ) S l ( d j e m ) S m = s j k S k s j l S l s j m S m . {\displaystyle D_{j}=+({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{k})S_{k}-({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{l})S_{l}-({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{m})S_{m}=s_{jk}S_{k}-s_{jl}S_{l}-s_{jm}S_{m}.}

Dla łańcucha o n {\displaystyle n} ogniwach i m {\displaystyle m} liniowo niezależnych przemieszczeniach węzłowych macierz B {\displaystyle \mathbf {B} } możemy zapisać w postaci

B = d 1 e 1 d 1 e 2 d 1 e n d 2 e 1 d 2 e 2 d 2 e n d m e 1 d m e 2 d m e n , {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\\{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\end{bmatrix}},}

która jednak nie uwzględnia znakowania określonego przez kryterium (A).

Analogicznie możemy napisać na podstawie wzoru (c)

A = e 1 d 1 e 1 d 2 e 1 d m e 2 d 1 e 2 d 2 e 2 d m e n d 1 e n d 2 e n d m . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\\{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\end{bmatrix}}.}

Wobec tego, że elementy a i j {\displaystyle a_{ij}} oraz b i j {\displaystyle b_{ij}} macierzy A {\displaystyle \mathbf {A} } i B {\displaystyle \mathbf {B} } spełniają związki

a i j = e i d j = d j e i = b j i {\displaystyle a_{ij}={\vec {e}}_{i}\!\cdot \!{\vec {d}}_{j}={\vec {d}}_{j}\!\cdot \!{\vec {e}}_{i}=b_{ji}}

otrzymujemy istotny związek

B T = A {\displaystyle \mathbf {B} ^{T}=\mathbf {A} }

pozwalający generować elementy macierzy A {\displaystyle \mathbf {A} } na dwa równorzędne sposoby.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.
  2. a b B. Olszowski, M. Radwańska, Mechanika budowli, t. 1, s. 147, Kraków 2010, Wyd. Politechniki Krakowskiej.
Na podstawie artykułu: "Łańcuch kinematyczny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy