Ślad (algebra liniowa)


Ślad (algebra liniowa) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Niech A {\displaystyle A} będzie macierzą kwadratową stopnia n . {\displaystyle n.} Śladem macierzy A {\displaystyle A} nazywamy wielkość

tr ( A ) = i = 1 n a i i = a 11 + a 22 + + a n n . {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}.}

Stosuje się również oznaczenia Tr ( A ) {\displaystyle \operatorname {Tr} (A)} oraz trace ( A ) . {\displaystyle \operatorname {trace} (A).} Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności | edytuj kod

  • Ślad jest operatorem liniowym. Niech A , B M n ( K ) {\displaystyle A,B\in M_{n}(K)} oraz r K , {\displaystyle r\in K,} wówczas:
    • tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)} addytywność operacji liczenia śladu,
    • tr ( r A ) = r tr ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)} jednorodność operacji liczenia śladu.
  • Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd tr ( A ) = tr ( A T ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T}).}
  • Jeśli A M n , B M n , {\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},} to
tr ( A B ) = tr ( B A ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}
  • Jeśli A M n , B M n , C M n , {\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n},} to
tr ( A B C ) = tr ( C A B ) = tr ( B C A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)} (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak tr ( A B C ) = tr ( B A C ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC).}

Przekształcenia liniowe | edytuj kod

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej P {\displaystyle P} zachodzi

tr ( P 1 A P ) = tr ( P P 1 A ) = tr ( A ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A).}

Niech f : V V {\displaystyle f\colon V\to V} będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni V . {\displaystyle V.} Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli X {\displaystyle X} jest n {\displaystyle n} wymiarową przestrzenią wektorową, a θ {\displaystyle \theta } n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu T {\displaystyle T} można przyporządkować formę n-liniową:

θ T : X × × X n ( x 1 , , x n ) θ ( T x 1 , x 2 , , x N ) + θ ( x 1 , T x 2 , , x N ) + + θ ( x 1 , x 2 , , T x N ) {\displaystyle \theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\dots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\dots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\dots ,Tx_{N})}

Forma ta jest równa τ θ , {\displaystyle \tau \theta ,} a stałą proporcjonalności można nazwać tr T . {\displaystyle \operatorname {tr} T.} Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech λ 1 , λ 2 , , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}} będą wartościami własnymi macierzy A . {\displaystyle A.} Ponieważ A {\displaystyle A} można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

tr ( A ) = i = 1 n λ i . {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.}

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

det ( e A ) = e tr ( A ) . {\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.}

Operatory śladowe | edytuj kod

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech H {\displaystyle H} będzie przestrzenią Hilberta, ( e i ) i I {\displaystyle (e_{i})_{i\in I}} jej bazą ortonormalną oraz niech

B 1 ( H ) = { A B : A , B B 2 ( H ) } , {\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB:A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\},}

gdzie B 2 ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(H)} oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni H , {\displaystyle H,} tj. takich operatorów liniowych i ciągłych A : H H , {\displaystyle A\colon H\to H,} że

A 2 := ( i I A e i 2 ) 1 2 < . {\displaystyle \|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty .}

Funkcja tr : B 1 ( H ) C , {\displaystyle \operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C} ,} dana wzorem

tr ( T ) = i I T e i , e i {\displaystyle \operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle }

nazywana jest śladem.

Operatory należące do B 1 ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)} nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni H . {\displaystyle H.} W przypadku, gdy H {\displaystyle H} jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni L p {\displaystyle L_{p}} na algebrach von Neumanna.

Bibliografia | edytuj kod

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.
Macierze

Na podstawie artykułu: "Ślad (algebra liniowa)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy