Średnia potęgowa


Średnia potęgowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) n {\displaystyle n} liczb a 1 , a 2 , , a n R 0 {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}} nazywamy liczbę:

μ k = a 1 k + a 2 k + + a n k n k {\displaystyle \mu _{k}={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}}{n}}}}

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla k = , {\displaystyle k=-\infty ,} k = 0 {\displaystyle k=0} oraz k = + {\displaystyle k=+\infty } w sposób następujący:

  • μ = min ( a 1 , a 2 , , a n ) , {\displaystyle \mu _{-\infty }=\min(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}
  • μ 0 = a 1 a 2 a n n , {\displaystyle \mu _{0}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},}
  • μ + = max ( a 1 , a 2 , , a n ) . {\displaystyle \mu _{+\infty }=\max(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 5 3 = 225 5 3 = 45 3 3 , 56 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56}

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich a 1 , a 2 , , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} tak zdefiniowana funkcja μ k {\displaystyle \mu _{k}} zmiennej k {\displaystyle k} jest ciągła i niemalejąca na zbiorze R { , + } , {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},} jeśli zaś dla jakichkolwiek i {\displaystyle i} i j , {\displaystyle j,} zachodzi a i a j , {\displaystyle a_{i}\neq a_{j},} jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).

Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy:

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Średnia potęgowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy