Środek masy


Środek masy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Środek masy ciała lub układu ciał – punkt charakteryzujący rozkład masy w ciele, określony tak by w opisie ruchu ciała zastąpić je punktem materialnym[1].

Środek masy w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

Wzór na wektor wodzący środka masy:

r 0 = k m k r k k m k . {\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {\sum _{k}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k}m_{k}}}.}

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości ρ {\displaystyle \rho } w przestrzeni za pomocą zależności:

r 0 = 1 M V ρ r d V , {\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{M}}\int \limits _{V}\rho {\vec {r}}dV,} M = V ρ d V , {\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho dV,}

przy czym:

  • r 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} – wektor wodzący środka masy,
  • M {\displaystyle M} – masa ciała,
  • V {\displaystyle V} – objętość ciała,
  • ρ = ρ ( x , y , z ) {\displaystyle \rho =\rho (x,y,z)} funkcja gęstości ciała.

W przeciwieństwie do środka ciężkości, środek masy nie jest związany z żadnym oddziaływaniem. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy[1].

Środek geometryczny | edytuj kod

Środek geometryczny zdefiniowany jest podobnie jak środek masy, z tym nie występuje gęstość.

Położenie środka geometrycznego układu punktów określa wektor:

r 0 = k N r k N , {\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {\sum \limits _{k}^{N}{\vec {r}}_{k}}{N}},}

gdzie N {\displaystyle N} – liczba elementów układu.

Położenie środka geometrycznego bryły jest dane wektorem

r 0 = 1 V V r d V . {\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{V}}\int \limits _{V}{\vec {r}}dV.}

Możliwe jest także obliczanie środka geometrycznego powierzchni dwuwymiarowych lub krzywych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. np. wielościan dualny).

Położenie środka geometrycznego powierzchni jest zdefiniowane wektorem

r 0 = 1 S S r d S , {\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{S}}\int \limits _{S}{\vec {r}}dS,}

a dla krzywych

r 0 = 1 L L r d L , {\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\frac {1}{L}}\int \limits _{L}{\vec {r}}dL,}

gdzie:

S {\displaystyle S} pole powierzchni, d S {\displaystyle dS} – element powierzchni, L {\displaystyle L} długość krzywej, d L {\displaystyle dL} – element krzywej,

a całkowanie przebiega po całej powierzchni lub całej krzywej.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b „Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa PWN 1973 t. 3 s. 516.
Na podstawie artykułu: "Środek masy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy