Σ-ciało


Przestrzeń mierzalna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Σ-ciało) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń mierzalnaprzestrzeń wraz z wyróżnioną rodziną jej zbiorów nazywaną σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów, do której należą zbiór pusty, dopełnienie dowolnego zbioru z rodziny oraz suma dowolnej przeliczalnej liczby jej zbiorów (skończonej lub nieskończonej).

Przestrzenie mierzalne bada się głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami (w drugim przypadku: miarami probabilistycznymi), które są funkcjami przestrzeni mierzalnych w zbiór liczb rzeczywistych.

Wprowadzenie | edytuj kod

We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że aksjomat wyboru dopuszcza istnienie dziwnych zbiorów, zawartych w przestrzeni liczb rzeczywistych, dla których nie można jednoznacznie określić ich wielkości (tj. miary Lebesgue’a, przykładem jest zbiór Vitalego[1]).

Aby ustrzec się tego rodzaju problemów nałożono ograniczenia na możliwe do mierzenia za pomocą miar zbiory (tzw. zbiory mierzalne). Pierwotnie założono, że powinny to być zbiory zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie, przy czym zakładano, że można wykonywać skończoną liczbę sumowań. Tego rodzaju „porządne” rodziny zbiorów nazywa się ciałami zbiorów (lub algebrami zbiorów); rozpatrywano na nich funkcje nazywane „miarami”, które dziś nazywa się miarami skończenie addytywnymi.

Prawdziwy przełom przyniosło rozszerzenie warunku zamkniętości na przeliczalne (a nie tylko skończone) sumy zbiorów, dla których określa się miary. Zbiory te nazwano σ-ciałami. W ten sposób uogólniono definicję „miar” do miar przeliczalnie addytywnych (nazywanych dziś po prostu miarami).

Nie jest to jedyne rozwiązanie. Np. zrezygnowanie z aksjomatu wyboru na rzecz aksjomatu determinacji powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych stają się wtedy mierzalne (twierdzenie Mycielskiego–Świerczkowskiego[2]). Podobnie mierzalne okazują się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak w wielu zastosowaniach zbyt restrykcyjne i mają raczej znaczenie teoretyczne.

Definicje | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie ustaloną przestrzenią. Rodzinę F {\displaystyle {\mathcal {F}}} zbiorów przestrzeni X {\displaystyle X} nazywa się σ-ciałem lub σ-algebrą tej przestrzeni, jeżeli:

  • zbiór pusty należy do F {\displaystyle {\mathcal {F}}} F ; {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}};}
  • dopełnienie zbioru należącego do F {\displaystyle {\mathcal {F}}} należy do F : {\displaystyle {\mathcal {F}}{:}} A F X A F ; {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}\Rightarrow X\setminus A\in {\mathcal {F}};}
  • suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do F {\displaystyle {\mathcal {F}}} należy do F : {\displaystyle {\mathcal {F}}{:}} A 1 , A 2 , F i = 1 A i F . {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}.}

Jeżeli dana jest przestrzeń X {\displaystyle X} oraz ustalone jest w niej σ-ciało F , {\displaystyle {\mathcal {F}},} to zbiory należące do σ-ciała F {\displaystyle {\mathcal {F}}} nazywa się zbiorami F {\displaystyle {\mathcal {F}}} -mierzalnymi (krótko: mierzalnymi).

Parę ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} złożoną z przestrzeni X {\displaystyle X} i określonego na nim σ-ciała F {\displaystyle {\mathcal {F}}} nazywa się przestrzenią mierzalną.

σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów | edytuj kod

σ-ciało generowane przez dowolną rodzinę | edytuj kod

Niech F {\displaystyle {\mathcal {F}}} będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru X . {\displaystyle X.} Wówczas istnieje jednoznacznie wyznaczone, najmniejsze σ-ciało zawierające każdy zbiór należący do rodziny F {\displaystyle {\mathcal {F}}} (przy czym nie musi być ona σ-ciałem): jest to w istocie część wspólna wszystkich σ-ciał zawierających F . {\displaystyle {\mathcal {F}}.} Oznacza się ją σ ( F ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})} i nazywa σ-ciałem generowanym przez rodzinę F . {\displaystyle {\mathcal {F}}.}

Jeśli F {\displaystyle {\mathcal {F}}} jest pusta, to σ ( F ) = { , X } . {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})=\{\varnothing ,X\}.} W przeciwnym przypadku zawiera ona wszystkie zbiory przestrzeni X , {\displaystyle X,} które można uzyskać z elementów F {\displaystyle {\mathcal {F}}} za pomocą przeliczalnej ilości dopełnień, sum i przekrojów. W przypadku rodziny zawierającej pojedynczy zbiór A {\displaystyle A} nadużywa się często notacji pisząc σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} zamiast σ ( { A } ) , {\displaystyle \sigma {\big (}\{A\}{\big )},} czy σ ( A 1 , A 2 , ) {\displaystyle \sigma (A_{1},A_{2},\dots )} zamiast σ ( { A 1 , A 2 , } ) , {\displaystyle \sigma {\big (}\{A_{1},A_{2},\dots \}{\big )},} w przypadku większej ich liczby.

σ-ciało generowane przez funkcję | edytuj kod

Jeśli f {\displaystyle f} jest funkcją przestrzeni X {\displaystyle X} w przestrzeń Y , {\displaystyle Y,} a G {\displaystyle {\mathcal {G}}} jest σ-ciałem zbiorów w Y , {\displaystyle Y,} to σ-ciałem generowanym przez funkcję f , {\displaystyle f,} oznaczanym σ ( f ) , {\displaystyle \sigma (f),} nazywa się zbiór wszystkich przeciwobrazów f 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} zbiorów B {\displaystyle B} należących do G , {\displaystyle {\mathcal {G}},} tj.

σ ( f ) = { f 1 ( B ) : B G } . {\displaystyle \sigma (f)={\big \{}f^{-1}(B)\colon B\in {\mathcal {G}}{\big \}}.}

Funkcję f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest mierzalna względem σ-ciała F {\displaystyle {\mathcal {F}}} zbiorów przestrzeni X {\displaystyle X} wtedy i tylko wtedy, gdy σ ( f ) {\displaystyle \sigma (f)} jest podzbiorem F . {\displaystyle {\mathcal {F}}.}

Gdy G {\displaystyle {\mathcal {G}}} nie jest wyraźnie określona, powszechnie rozumie się, że gdy Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią metryczną lub topologiczną, to G {\displaystyle {\mathcal {G}}} jest rodziną zbiorów borelowskich przestrzeni Y . {\displaystyle Y.}

σ-ciała borelowskie i Lebesgue’a | edytuj kod

Ważnym przykładem jest wspomniane wcześniej σ-ciało zbiorów borelowskich nad dowolną przestrzenią topologiczną generowane przez zbiory otwarte (lub równoważnie: domknięte). Zwykle to σ-ciało nie jest niewłaściwe (tj. nie jest zbiorem potęgowym przestrzeni, zob. Przykłady); nietrywialnym przykładem zbioru nie-borelowskiego jest wspomniany we Wprowadzeniu zbiór Vitalego.

W przestrzeniach euklidesowych doniosłe znaczenie ma inne σ-ciało: σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, które zawiera więcej zbiorów niż σ-ciało zbiorów borelowskich tych przestrzeni. Z tego powodu jest ono preferowane w teorii całkowania, jako że czyni ona z przestrzeni euklidesowych przestrzenie zupełnie mierzalne.

σ-ciało produktowe | edytuj kod

Niech ( X 1 , F 1 ) {\displaystyle (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})} i ( X 2 , F 2 ) {\displaystyle (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})} będą przestrzeniami mierzalnymi. Rodzina

F 1 × F 2 = { A 1 × A 2 : A 1 F 1 , A 2 F 2 } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}=\{A_{1}\times A_{2}\colon A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {F}}_{2}\}}

jest π-układem w przestrzeni produktowej X 1 × X 2 ; {\displaystyle X_{1}\times X_{2};} określone w naturalny sposób σ-ciało produktowe F 1 F 2 , {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},} dane jest wzorem

F 1 F 2 = σ ( F 1 × F 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}).}

Powyższą definicję można indukcyjnie uogólnić na skończoną liczbę przestrzeni mierzalnych.

Przykłady | edytuj kod

  1. Niech X {\displaystyle X} będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów X {\displaystyle X} są σ-ciałami na X : {\displaystyle X{:}}
    • rodzina złożona ze zbioru pustego i przestrzeni X ; {\displaystyle X;} to najmniejsze σ-ciało nazywa się trywialnym;
    • rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni X ; {\displaystyle X;} to największe σ-ciało na danym zbiorze nazywa się niewłaściwym lub dyskretnym;
    • rodzina F A = { , X , A , X A } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}=\{\varnothing ,X,A,X\setminus A\}} dla dowolnego A X . {\displaystyle A\subseteq X.}
  2. Niech F {\displaystyle {\mathcal {F}}} będzie σ-ciałem podzbiorów X , {\displaystyle X,} a I {\displaystyle {\mathcal {I}}} będzie σ-ideałem podzbiorów X . {\displaystyle X.} Wówczas σ-ciałem generowanym przez F I {\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {I}}} jest zbiór σ ( F I ) = { A B : A F B I } , {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {I}})=\left\{A\triangle B\colon A\in {\mathcal {F}}\land B\in {\mathcal {I}}\right\},}
gdzie {\displaystyle \triangle } oznacza operację różnicy symetrycznej. W szczególności, gdy B {\displaystyle {\mathcal {B}}} jest σ-ciałem podzbiorów borelowskich prostej rzeczywistej R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} a L {\displaystyle {\mathcal {L}}} oznacza σ-ideał zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue’a), zaś K {\displaystyle {\mathcal {K}}} jest σ-ideałem zbiorów mizernych (pierwszej kategorii w sensie Baire’a), to σ ( B L ) = { G L : L L G {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {L}})=\{G\triangle L\colon L\in {\mathcal {L}}\land G} jest zbiorem typu Gδ } {\displaystyle \}} jest σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a oraz σ ( B K ) = { O K : K K O {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {K}})=\{O\triangle K\colon K\in {\mathcal {K}}\land O} jest zbiorem otwartym } {\displaystyle \}} jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a. Zatem przestrzeń ( R , σ ( B L ) ) {\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ,\sigma ({\mathcal {B}}\cup {\mathcal {L}}){\big )}} jest mierzalna w sensie Lebesgue’a (tj. z miarą Lebesgue’a).

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 
  2. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Σ-ciało" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy