*-pierścień


*-pierścień w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

*-pierścieńpierścień (łączny) A {\displaystyle A} z dodatkowym działaniem jednoargumentowym (nazywanym inwolucją), oznaczanym symbolem *, spełniającym dla wszystkich elementów x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} pierścienia warunki

  1. ( x + y ) = x + y {\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}
  2. ( x y ) = y x {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
  3. ( x ) = x {\displaystyle (x^{*})^{*}=x}

Spis treści

*-algebra | edytuj kod

*-pierścień, który jest algebrą nad innym *-pierścieniem nazywa się *-algebrą.

Np. *-pierścień nad ciałem liczb zespolonych ze sprzężeniem zespolonym jako inwolucją.

*-homomorfizm | edytuj kod

Jeżeli A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są *-algebrami to homomorfizm algebr h : A B {\displaystyle h\colon A\to B} nazywa się *-homomorfizmem, gdy

h ( a ) = ( h ( a ) ) {\displaystyle h(a^{*})=(h(a))^{*}}

dla wszystkich elementów a {\displaystyle a} algebry A . {\displaystyle A.}

Element samosprzężony | edytuj kod

Element a {\displaystyle a} pierścienia A {\displaystyle A} nazywa się samosprzężonym, gdy a = a . {\displaystyle a^{*}=a.}

Przykłady | edytuj kod

  • Naturalnym przykładem *-pierścienia (i trywialnie *-algebry jako algebry nad samym sobą) jest ciało liczb zespolonych ze sprzężeniem jako inwolucją.
  • Algebra macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem liczb zespolonych z inwolucją będącą sprzężeniem hermitowskim macierzy jest *-algebrą.
  • Ogólniej, dla danej przestrzeni Hilberta H , {\displaystyle H,} algebra wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na H {\displaystyle H} z inwolucją będącą przyporządkowaniem operatora sprzężonego, jest *-algebrą.
  • Iloczyn tensorowy A B {\displaystyle A\otimes B} utworzony z *-algebr A {\displaystyle A} oraz B {\displaystyle B} jest *-algebrą i dla a A {\displaystyle a\in A} oraz b B {\displaystyle b\in B} zachodzi warunek
( a b ) = a b . {\displaystyle (a\otimes b)^{*}=a^{*}\otimes b^{*}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, s. 142–150.
Na podstawie artykułu: "*-pierścień" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy