0,(9)


0,(9) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

0,(9) (lub 0,999...) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość 0,(9) = 1 można udowodnić na kilka sposobów.

Spis treści

Dowody | edytuj kod

Dowód 1. | edytuj kod

Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka 1 9 {\displaystyle {\tfrac {1}{9}}} w postaci liczby dziesiętnej 0 , ( 1 ) . {\displaystyle 0{,}(1).} Z równości 1 9 = 0 , ( 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)} natychmiast wynika

0 , ( 9 ) = 9 0 , ( 1 ) = 9 1 9 = 1. {\displaystyle 0{,}(9)=9\cdot 0{,}(1)=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.}

Podobnie ułamek 3 9 = 1 3 {\displaystyle {\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}} można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej 0 , ( 3 ) . {\displaystyle 0{,}(3).} Stąd

0 , ( 9 ) = 3 0 , ( 3 ) = 3 1 3 = 1. {\displaystyle 0{,}(9)=3\cdot 0{,}(3)=3\cdot {\frac {1}{3}}=1.}

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

0 , ( 9 ) = 0 , ( 1 ) + 0 , ( 8 ) = 1 9 + 8 9 = 1. {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(1)+0{,}(8)={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}=1.}

Podobnie dla poniższych rozkładów

0 , ( 9 ) = 0 , ( 2 ) + 0 , ( 7 ) = 0 , ( 3 ) + 0 , ( 6 ) = 0 , ( 4 ) + 0 , ( 5 ) = 0 , ( 1 ) + 0 , ( 2 ) + 0 , ( 2 ) + 0 , ( 4 ) {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(2)+0{,}(7)=0{,}(3)+0{,}(6)=0{,}(4)+0{,}(5)=0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)}   itd.

Dowód 2. | edytuj kod

Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:

x = 0,999 10 x = 9,999 10 x x = 9,999 0,999 9 x = 9 x = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots \\10x&=9{,}999\ldots \\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots \\9x&=9\\x&=1.\end{aligned}}}

Dowód 3. | edytuj kod

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

0 , ( 9 ) = 0 , 9 + 0 , 09 + 0,009 + 0,000 9 + . . . . = n = 1 9 10 n {\displaystyle 0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009+....=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}}

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym a 1 = 9 10 , q = 1 10 , {\displaystyle a_{1}={\frac {9}{10}},\,\,q={\frac {1}{10}},} dostaniemy:

n = 1 9 10 n = a 1 1 q = 9 10 1 1 10 = 9 10 9 10 = 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1.}

Uwagi | edytuj kod

Uwaga 1.

Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej.

Dla ułamków postaci c 9 , 1 c < 9 {\displaystyle {\frac {c}{9}},\,\,1\leq c<9} zachodzi równość

10 c 9 = c + c 9 , {\displaystyle 10\cdot {\frac {c}{9}}=c+{\frac {c}{9}},}

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie c 0 = 0 , c 1 = c 2 = c 3 = , {\displaystyle c_{0}=0,\quad c_{1}=c_{2}=c_{3}=\dots ,} tzn.

1 9 = 0 , ( 1 ) , 2 9 = 0 , ( 2 ) , 3 9 = 0 , ( 3 ) , 8 9 = 0 , ( 8 ) . {\displaystyle {\frac {1}{9}}=0{,}(1),\quad {\frac {2}{9}}=0{,}(2),\quad {\frac {3}{9}}=0{,}(3),\quad \dots \quad {\frac {8}{9}}=0{,}(8).}

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka 9 9 , {\displaystyle {\tfrac {9}{9}},} stąd nieoczywista równość

9 9 = 0 , ( 9 ) , {\displaystyle {\frac {9}{9}}=0{,}(9),}

którą należy wykazać.

Uwaga 2.

Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

Uwaga 3.

Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych:

  • jeśli i a i {\displaystyle \sum _{i}a_{i}} jest zbieżny, to i k a i {\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}} też jest zbieżny oraz i k a i = k i a i , {\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}=k\cdot \sum _{i}a_{i},}
  • jeśli i a i , i b i {\displaystyle \sum _{i}a_{i},\sum _{i}b_{i}} są zbieżne, to i ( a i + b i ) {\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})} też jest zbieżny oraz i ( a i + b i ) = i a i + i b i . {\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "0,(9)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy