Aksjomat determinacji


Aksjomat determinacji w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych.

Spis treści

Rys historyczny | edytuj kod

  • Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
  • W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus[1] zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego[2][3][4].
  • W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz A ω ω {\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }} jest zbiorem analitycznym, to gra ω ( A ) {\displaystyle \Game ^{\omega }(A)} jest zdeterminowana[5].
  • W 1975 Martin wykazał, że jeśli A ω ω {\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }} jest zbiorem borelowskim, to gra ω ( A ) {\displaystyle \Game ^{\omega }(A)} jest zdeterminowana[6][7].
  • W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[8][9]. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
  • W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu P max , {\displaystyle \mathbf {P} _{\max },} które okazało się kluczowym elementem badań struktury ( H ( ω 2 ) , , I N S ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}(\omega _{2}),\in ,I_{NS})} przy założeniu AD w L ( R ) {\displaystyle \mathbf {L} (\mathbb {R} )} (gdzie I N S {\displaystyle I_{NS}} jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów ω 1 , {\displaystyle \omega _{1},} a H ( ω 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\omega _{2})} jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy < ω 2 {\displaystyle <\omega _{2}} )[10].

Aksjomat i jego wersje | edytuj kod

Definicje wstępne | edytuj kod

Przypomnijmy następujące definicje:

  • Niech X {\displaystyle {\mathcal {X}}} będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech A X ω . {\displaystyle A\subseteq {\mathcal {X}}^{\omega }.} Gra X ( A ) {\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)} pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony η = η ( n ) : n ω X ω {\displaystyle \eta =\langle \eta (n):n\in \omega \rangle \in {\mathcal {X}}^{\omega }} o wyrazach w X {\displaystyle {\mathcal {X}}} w taki sposób, że po tym jak już η n = η ( k ) : k < n {\displaystyle \eta \upharpoonright n=\langle \eta (k):k<n\rangle } zostało wybrane, to
jeśli n {\displaystyle n} jest parzyste, to gracz I wybiera η ( n ) , {\displaystyle \eta (n),} jeśli n {\displaystyle n} jest nieparzyste, to gracz II wybiera η ( n ) . {\displaystyle \eta (n).} Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg η = η ( n ) : n ω X ω , {\displaystyle \eta =\langle \eta (n):n\in \omega \rangle \in {\mathcal {X}}^{\omega },} powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli η A . {\displaystyle \eta \in A.}
  • Strategia dla gracza I to funkcja σ : k ω X 2 k X . {\displaystyle \sigma :\bigcup \limits _{k\in \omega }{\mathcal {X}}^{2k}\longrightarrow {\mathcal {X}}.} Powiemy, że ciąg η X ω {\displaystyle \eta \in {\mathcal {X}}^{\omega }} jest zgodny ze strategią σ jeśli ( k ω ) ( η ( 2 k ) = σ ( η 2 k ) ) . {\displaystyle (\forall k\in \omega )(\eta (2k)=\sigma (\eta \upharpoonright 2k)).} Strategia σ {\displaystyle \sigma } dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w X ( A ) {\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)} , jeśli każdy ciąg η {\displaystyle \eta } zgodny z σ {\displaystyle \sigma } należy do zbioru A . {\displaystyle A.}
  • Strategia dla gracza II to funkcja τ : k ω X 2 k + 1 X . {\displaystyle \tau :\bigcup \limits _{k\in \omega }{\mathcal {X}}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal {X}}.} Powiemy, że ciąg η X ω {\displaystyle \eta \in {\mathcal {X}}^{\omega }} jest zgodny ze strategią τ jeśli ( k ω ) ( η ( 2 k + 1 ) = τ ( η ( 2 k + 1 ) ) ) . {\displaystyle (\forall k\in \omega )(\eta (2k+1)=\tau (\eta \upharpoonright (2k+1))).} Strategia τ {\displaystyle \tau } dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w X ( A ) {\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)} , jeśli żaden ciąg η {\displaystyle \eta } zgodny z τ {\displaystyle \tau } nie należy do zbioru A . {\displaystyle A.}
  • Powiemy że gra X ( A ) {\displaystyle \Game ^{\mathcal {X}}(A)} jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji | edytuj kod

  • Aksjomat determinacji AD to zdanie
dla każdego zbioru A ω ω {\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }} gra ω ( A ) {\displaystyle \Game ^{\omega }(A)} jest zdeterminowana.
  • Aksjomat determinacji rzeczywistej A D R {\displaystyle \mathbf {AD} _{\mathbb {R} }} to zdanie
dla każdego zbioru A R ω {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{\omega }} gra R ( A ) {\displaystyle \Game ^{\mathbb {R} }(A)} jest zdeterminowana

(gdzie R {\displaystyle \mathbb {R} } oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

  • Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie
dla każdego zbioru rzutowego A ω ω {\displaystyle A\subseteq \omega ^{\omega }} gra ω ( A ) {\displaystyle \Game ^{\omega }(A)} jest zdeterminowana.

Konsekwencje | edytuj kod

  • A D R {\displaystyle \mathbf {AD} _{\mathbb {R} }} implikuje AD.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:
    1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
    2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
    3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
    4. Dla każdego x ω , {\displaystyle x\subseteq \omega ,} 1 {\displaystyle \aleph _{1}} jest liczbą nieosiągalną w L x . {\displaystyle \mathbf {L} [x].}
    5. 1 {\displaystyle \aleph _{1}} jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
    6. 2 {\displaystyle \aleph _{2}} jest liczbą mierzalną.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:
    1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
    2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
    3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  • Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
    1. L ( R ) A D {\displaystyle \mathbf {L} (\mathbb {R} )\models \mathbf {AD} }
    2. PD jest prawdziwe.
  • Teoria „ZF+AD” jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria „ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina”.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.
  2. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness, „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.
  3. Jan Mycielski: On the axiom of determinateness, „Fundamenta Mathematicae” 53 (1963/1964), s. 205–224.
  4. Jan Mycielski: On the axiom of determinateness. II, „Fundamenta Mathematicae” 59 (1966), s. 203–212.
  5. Donald A. Martin: Measurable cardinals and analytic games, „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.
  6. Donald A. Martin: Borel determinacy. „Ann. of Math.” (2) 102 (1975), nr 2, s. 363–371.
  7. Donald A. Martin: A purely inductive proof of Borel determinacy, „Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)”, Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303–308.
  8. W. Hugh Woodin: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 85 (1988), s. 6587–6591.
  9. Donald A. Martin, John R. Steel: A proof of projective determinacy, „J. Amer. Math. Soc.” 2 (1989), s. 1, 71–125.
  10. W. Hugh Woodin: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. „de Gruyter Series in Logic and its Applications”, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ​ISBN 3-11-015708-X​.
Na podstawie artykułu: "Aksjomat determinacji" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy