Aksjomat zbioru potęgowego


Aksjomat zbioru potęgowego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Aksjomat zbioru potęgowego, AxP[1] – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać[1]:

u y x ( x y z ( z x z u ) ) . {\displaystyle \forall u\;\exists y\;\forall x\;{\Big (}x\in y\Leftrightarrow \forall z\;(z\in x\Rightarrow z\in u){\Big )}.}

Można go również sformalizować inaczej[2]:

u y x ( x y x u ) . {\displaystyle \forall u\;\exists y\;\forall x\;(x\in y\Leftrightarrow x\subseteq u).}

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol {\displaystyle \subseteq } oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji ( x y z   ( z x z y ) ) {\displaystyle (x\subseteq y\Leftrightarrow \forall z\ (z\in x\Rightarrow z\in y))} [3].

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru u {\displaystyle u} istnieje zbiór y , {\displaystyle y,} którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru u . {\displaystyle u.} Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnieje dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru u {\displaystyle u} [1]. Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru u . {\displaystyle u.} Oznacza się go P ( u ) . {\displaystyle P(u).}

Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: x ( x P ( U ) x U ) {\displaystyle \forall x\;(x\in P(U)\Leftrightarrow x\subseteq U)} [2].

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego | edytuj kod

W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF (bądź ZFC), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał[4], zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} jest singularna), a także takie modele ZF, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone wykazali[5], że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c Nowak 2016 ↓, s. 92.
  2. a b Nowak 2016 ↓, s. 97.
  3. Nowak 2016 ↓, s. 93–94.
  4. Andrzej Zarach, Unions of ZF-models which are themselves ZF-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. s. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982.
  5. V. Gitman, J.D. Hamkins, T.A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, „MLQ. Math. Log. Q.”, 62, iss. 4–5 (2016), s. 391−406.

Bibliografia | edytuj kod

  • Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.
Na podstawie artykułu: "Aksjomat zbioru potęgowego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy