Algebra ogólna


Algebra ogólna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna) – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].

Definicje | edytuj kod

Definicja 1 | edytuj kod

Niech F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} będzie zbiorem i niech ς : F N 0 . {\displaystyle \varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} _{0}.}

Algebrą sygnatury ς {\displaystyle \varsigma } jest para A = A , J , {\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle A,{\mathcal {J}}\rangle ,} gdzie A {\displaystyle A} jest zbiorem (zwykle niepustym), a J {\displaystyle {\mathcal {J}}} jest funkcją, która elementowi f {\displaystyle {\mathfrak {f}}} zbioru F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} przyporządkowuje ς ( f ) {\displaystyle \varsigma ({\mathfrak {f}})} -argumentowe działanie J ( f ) {\displaystyle {\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})} w zbiorze A . {\displaystyle A.} Zbiór A {\displaystyle A} nazywamy uniwersum algebry A , {\displaystyle {\mathcal {A}},} funkcję J {\displaystyle {\mathcal {J}}} interpretacją zbioru F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} w algebrze A . {\displaystyle {\mathcal {A}}.}

Dla danej algebry A , {\displaystyle {\mathcal {A}},} jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako | A | . {\displaystyle |{\mathcal {A}}|.} Tak, że zamiast pisać J ( f ) {\displaystyle {\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})} pisze się A ( f ) {\displaystyle {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})} albo f A . {\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\mathcal {A}}.}

Definicja 2 | edytuj kod

Algebrą[1] nazywamy zbiór G , {\displaystyle {\mathfrak {G}},} na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór Ω {\displaystyle \Omega } operacji n {\displaystyle n} -arnych.

Zbiór symboli operacji Ω , {\displaystyle \Omega ,} dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja ω Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } jest n {\displaystyle n} -arna, to używa się zapisu ω Ω n . {\displaystyle \omega \in \Omega _{n}.}

Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt – algebrę ω . {\displaystyle \omega .} W pierwszej definicji zbiór F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, J {\displaystyle {\mathcal {J}}} jest funkcją przypisującą nazwie operację n {\displaystyle n} -arną algebry, a funkcja ς {\displaystyle \varsigma } przypisuje nazwie operacji jej arność.

Definicja 3 | edytuj kod

Algebrą[4] (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

A = ( A , a 1 , a 2 , , a m , f 1 , f 2 , , f n ) , {\displaystyle \mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},\dots ,a_{m},f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}),}

gdzie:

A {\displaystyle A} jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), a 1 , a 2 , , a m {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}} są pewnymi elementami zbioru A {\displaystyle A} (nazywanymi elementami wyróżnionymi), f 1 , f 2 , , f n {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}} są działaniami określonymi w zbiorze A , {\displaystyle A,} przy czym f i {\displaystyle f_{i}} jest działaniem k i {\displaystyle k_{i}} -argumentowym, tzn. f i : A k i A {\displaystyle f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A} oraz k i > 0. {\displaystyle k_{i}>0.}

Dwie algebry:

A = ( A , a 1 , a 2 , , a m , f 1 , f 2 , , f n ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},\dots ,a_{m},f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})}

i

B = ( B , b 1 , b 2 , , b r , g 1 , g 2 , , g s ) {\displaystyle \mathbf {B} =(B,b_{1},b_{2},\dots ,b_{r},g_{1},g_{2},\dots ,g_{s})}

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli m = r {\displaystyle m=r} oraz n = s , {\displaystyle n=s,} oraz dla każdego i { 1 , 2 , , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}} działania f i {\displaystyle f_{i}} oraz g i {\displaystyle g_{i}} są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. f i : A k i A {\displaystyle f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A} oraz g i : B k i B . {\displaystyle g_{i}\colon B^{k_{i}}\to B.}

Przykłady algebr | edytuj kod

1. Algebra Peana arytmetyki liczb naturalnych, N : {\displaystyle {\mathfrak {N}}{:}}

ς P A = A M P O I 2 2 2 0 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {PA} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {P} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&2&0&0\end{array}}\right\rangle ,} N ( A ) ( a , b ) = a + b , {\displaystyle {\mathfrak {N}}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b,} N ( M ) ( a , b ) = a b , {\displaystyle {\mathfrak {N}}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cdot b,} N ( P ) ( a , b ) = a b , a , b N 0 , {\displaystyle {\mathfrak {N}}(\mathbf {P} )(a,b)=a^{b},\quad a,b\in \mathbb {N} _{0},} N ( O ) = 0 , {\displaystyle {\mathfrak {N}}(\mathbf {O} )=0,} N ( I ) = 1. {\displaystyle {\mathfrak {N}}(\mathbf {I} )=1.}

2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, N ( + ) : {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(+)}{:}}

ς P r = A O I 2 0 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {Pr} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle ,} N ( + ) ( A ) ( a , b ) = a + b , a , b N 0 , {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b,\quad a,b\in \mathbb {N} _{0},} N ( + ) ( O ) = 0 , {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {O} )=0,} N ( + ) ( I ) = 1. {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {I} )=1.}

3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia, N ( ) : {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}{:}}

ς C e g = M O I 2 0 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {Ceg} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {M} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle ,} N ( ) ( A ) ( a , b ) = a b , a , b N 0 , {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {A} )(a,b)=a\cdot b,\quad a,b\in \mathbb {N} _{0},} N ( ) ( O ) = 0 , {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {O} )=0,} N ( ) ( I ) = 1. {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {I} )=1.}

4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych, Z : {\displaystyle {\mathfrak {Z}}{:}}

ς Z = A M S b N O I 2 2 2 1 0 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathfrak {Z}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {Sb} &\mathbf {N} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle ,} Z ( A ) ( a , b ) = a + b , {\displaystyle {\mathfrak {Z}}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b,} Z ( M ) ( a , b ) = a b , {\displaystyle {\mathfrak {Z}}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cdot b,} Z ( S b ) ( a , b ) = a b , a , b Z , {\displaystyle {\mathfrak {Z}}(\mathbf {Sb} )(a,b)=a-b,\quad a,b\in \mathbb {Z} ,} Z ( N ) ( a ) = a , a Z , {\displaystyle {\mathfrak {Z}}(\mathbf {N} )(a)=-a,\quad a\in \mathbb {Z} ,} Z ( O ) = 0 , {\displaystyle {\mathfrak {Z}}(\mathbf {O} )=0,} Z ( I ) = 1. {\displaystyle {\mathfrak {Z}}(\mathbf {I} )=1.}

5. Algebra podzbiorów zbioru X {\displaystyle X} , P ( X ) : {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}{:}}

ς B A = J M N O I 2 2 1 0 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {BA} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf {J} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle ,} P ( X ) ( J ) ( a , b ) = a b , {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {J} )(a,b)=a\cup b,} P ( X ) ( M ) ( a , b ) = a b , a , b ( X ) , {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cap b,\quad a,b\in \wp (X),} P ( X ) ( N ) ( a ) = X a , a ( X ) , {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {N} )(a)=X\setminus a,\quad a\in \wp (X),} P ( X ) ( O ) = , {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {O} )=\emptyset ,} P ( X ) ( I ) = X . {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {I} )=X.}

6. Krata podzielności w N {\displaystyle \mathbb {N} } , D ( N ) : {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}{:}}

ς B L a t = J M O I 2 2 0 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {B\cdot Lat} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {J} &\mathbf {M} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&0&0\end{array}}\right\rangle ,} D ( N ) ( J ) ( a , b ) = n w d { a , b } , {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {J} )(a,b)=\mathbf {nwd} \{a,b\},} D ( N ) ( M ) ( a , b ) = n w w ( a , b ) , a , b N {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {M} )(a,b)=\mathbf {nww} ({a,b}),\quad a,b\in \mathbb {N} } (zob. nww, nwd) D ( N ) ( O ) = 1 , {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {O} )=1,} D ( N ) ( I ) = 0. {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {I} )=0.}

Redukty i wzbogacenia | edytuj kod

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie algebrą sygnatury ς : F N {\displaystyle \varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} } i niech F 0 F . {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}\subseteq {\mathfrak {F}}.}

Reduktem prostym algebry A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do F 0 {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}} nazywamy algebrę A | F 0 = A , J | F 0 . {\displaystyle {\mathcal {A}}|_{\mathfrak {F_{0}}}=\langle A,{\mathcal {J}}|_{\mathfrak {F_{0}}}\rangle .}

Algebra B {\displaystyle {\mathcal {B}}} jest wzbogaceniem (prostym) algebry A , {\displaystyle {\mathcal {A}},} jeśli A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest reduktem (prostym) algebry B . {\displaystyle {\mathcal {B}}.}

Przykłady | edytuj kod

  • N ( + ) {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(+)}} i N ( ) {\displaystyle {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}} są reduktami prostymi N {\displaystyle {\mathfrak {N}}}
  • Algebrę P ( X ) | { J , M } {\displaystyle {\mathfrak {P}}_{(X)}|_{\{\mathbf {J} ,\mathbf {M} \}}} nazywamy kratą podzbiorów zbioru X . {\displaystyle X.}

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste | edytuj kod

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie algebrą sygnatury ς : F N {\displaystyle \varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} } i niech π : F 0 F {\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {F}}_{0}\to {\mathfrak {F}}} będzie różnowartościowe.

Reduktem nieprostym algebry A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do π {\displaystyle \pi } nazywamy algebrę A | π {\displaystyle {\mathcal {A}}|_{\pi }} sygnatury ς π , {\displaystyle \varsigma \circ \pi ,} której uniwersum jest | A | {\displaystyle |{\mathcal {A}}|} i w której

f ( A | π ) = A ( π ( f ) ) , f F 0 {\displaystyle {\mathfrak {f}}^{({\mathcal {A}}|_{\pi })}={\mathcal {A}}{\big (}\pi ({\mathfrak {f}}){\big )},\qquad f\in {\mathfrak {F}}_{0}}

Przykłady | edytuj kod

Pierścień to taka algebra R {\displaystyle {\mathcal {R}}} sygnatury ς r i n g = A M N Z 2 2 1 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {ring} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle ,} że redukt R | { A / M , N , Z / E } {\displaystyle {\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}}} jest grupą przemienną, a R | { M } {\displaystyle {\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} \}}} jest półgrupą oraz spełnione są równości:

x ( y + z ) = x y + x z i ( x + y ) z = x z + y z , x , y , z | R | . {\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad {\text{i}}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z,\quad x,y,z\in |{\mathcal {R}}|.}

gdzie:

x + y = A R ( x , y ) , x y = M R ( x , y ) , x = N R ( x ) , 0 = Z R , x , y | R | . {\displaystyle x+y=\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}(x,y),\;x\cdot y=\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}(x,y),\;-x=\mathbf {N} ^{\mathcal {R}}(x),\;0=\mathbf {Z} ^{\mathcal {R}},\qquad x,y\in |{\mathcal {R}}|.}

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której { A / M , N , Z / E } {\displaystyle \{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}} jest innym zapisem funkcji π = M N E A N Z . {\displaystyle \pi =\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {E} \\\hline \mathbf {A} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \end{array}}\right\rangle .}

Ciało to taka algebra F {\displaystyle {\mathcal {F}}} sygnatury ς f i e l d = ς r i n g { R 1 , J 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {field} }=\varsigma _{\mathbf {ring} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1,\mathbf {J} \mapsto 0\},} że F | { A , M , N , Z } {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}} jest pierścieniem, a F | { M , R / N , J / E } {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {R} /\mathbf {N} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}} jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

1 = A F ( x , y ) , x 1 = R F ( x ) , x | F | . {\displaystyle 1=\mathbf {A} ^{\mathcal {F}}(x,y),\;x^{-1}=\mathbf {R} ^{\mathcal {F}}(x),\qquad x\in |{\mathcal {F}}|.}

Podalgebry | edytuj kod

Algebra C {\displaystyle {\mathcal {C}}} jest podalgebrą algebry A , {\displaystyle {\mathcal {A}},} jeśli

  1. | C | | A | {\displaystyle |{\mathcal {C}}|\subseteq |{\mathcal {A}}|}        oraz
  2. C ( f ) = A ( f ) | ( | C | ) ς ( f ) , f F . {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathfrak {f}})={\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{\varsigma ({\mathfrak {f}})}},{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.}
Uwaga 1

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie algebrą. Na to, aby C | A | {\displaystyle C\subseteq |{\mathcal {A}}|} było uniwersum podalgebry algebry A {\displaystyle {\mathcal {A}}} potrzeba i wystarcza, aby A ( f ) | ( | C | ) ς ( f ) | C | , f F {\displaystyle {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\subseteq |C|,\qquad {\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}}

Uwaga 2

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie algebrą i niech C | A | . {\displaystyle C\subseteq |{\mathcal {A}}|.} Wówczas wśród podalgebr algebry A , {\displaystyle {\mathcal {A}},} których uniwersum zawiera C {\displaystyle C} istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez C {\displaystyle C} i oznacza się A C {\displaystyle {\mathcal {A}}[C]} albo C A . {\displaystyle \langle C\rangle _{\mathcal {A}}.}

Przykłady | edytuj kod

  1. Algebra N | { A , M , O , I } {\displaystyle {\mathfrak {N}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}} jest podalgebrą algebry Z | { A , M , O , I } . {\displaystyle {\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}.}
  2. Podalgebrą algebry Z | { A , M , O , I } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}} generowaną przez { 1 } {\displaystyle \{1\}} jest N | { A , M , O , I } . {\displaystyle {\mathfrak {N}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}.}
  3. Podalgebrą algebry Z {\displaystyle {\mathfrak {Z}}} generowaną przez { 1 } {\displaystyle \{1\}} jest Z . {\displaystyle {\mathfrak {Z}}.}
  4. Uniwersum podalgebry algebry Z | { M } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {M} \}}} generowanej przez { 1 } {\displaystyle \{-1\}} jest { 1 , 1 } . {\displaystyle \{-1,1\}.}
  5. Podalgebrą algebry Z | { A , M } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} generowanej przez { 1 } {\displaystyle \{-1\}} jest Z { A , M } . {\displaystyle {\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}.}

Homomorfizmy | edytuj kod

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} i B {\displaystyle {\mathcal {B}}} będą algebrami tej samej sygnatury ς : F N 0 . {\displaystyle \varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} _{0}.}

Funkcja h : | A | | B | {\displaystyle h\colon |{\mathcal {A}}|\to |{\mathcal {B}}|} jest homomorfizmem algebr A {\displaystyle {\mathcal {A}}} i B , {\displaystyle {\mathcal {B}},} jeśli

B ( f ) ( h ( a 1 ) , , h ( a ς ( f ) ) ) = h ( A ( f ) ( a 1 , , a ς ( f ) ) ) , a 1 , , a ς ( f ) | A | , f F . {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathfrak {f}}){\big (}h(a_{1}),\dots ,h(a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}){\big )}=h{\big (}{\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}){\big )},\qquad a_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.}

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do B {\displaystyle {\mathcal {B}}} oznaczamy h o m ( A , B ) . {\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).}

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do B {\displaystyle {\mathcal {B}}} oznaczamy m o n ( A , B ) . {\displaystyle \mathbf {mon} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).}

Homomorfizm „na” nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do B {\displaystyle {\mathcal {B}}} oznaczamy e p i ( A , B ) . {\displaystyle \mathbf {epi} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).}

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do B {\displaystyle {\mathcal {B}}} oznaczamy i s o ( A , B ) . {\displaystyle \mathbf {iso} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).}

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry A {\displaystyle {\mathcal {A}}} oznaczamy e n d o ( A ) . {\displaystyle \mathbf {endo} ({\mathcal {A}}).} Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry A {\displaystyle {\mathcal {A}}} oznaczamy a u t ( A ) . {\displaystyle \mathbf {aut} ({\mathcal {A}}).}

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest podalgebrą algebry B {\displaystyle {\mathcal {B}}} wtedy i tylko wtedy, gdy i d | A | h o m ( A , B ) . {\displaystyle \mathbf {id} _{|{\mathcal {A}}|}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).}

Jeśli h h o m ( A , B ) , {\displaystyle h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}),} to podalgebrę algebry B {\displaystyle {\mathcal {B}}} wyznaczoną przez h | A | {\displaystyle h''|{\mathcal {A}}|} nazywamy obrazem homomorfizmu h {\displaystyle h} i oznaczamy i m ( h ) . {\displaystyle \mathbf {im} (h).}

Przykłady | edytuj kod

  1. Odwzorowanie N x 2 x Z {\displaystyle \mathbb {N} \ni x\mapsto 2x\in \mathbb {Z} } jest w h o m ( N { O , A } , Z { O , A } ) , {\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}},\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}),}
    ale nie jest ani w h o m ( N { O , I , A } , Z { O , I , A } ) , {\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}},\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}),} ani w h o m ( N { O , M , A } , Z { O , M , A } ) . {\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {M} ,\mathbf {A} \}},\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {M} ,\mathbf {A} \}}).}
  2. Odwzorowanie Z x | x | N {\displaystyle \mathbb {Z} \ni x\mapsto |x|\in \mathbb {N} } jest w h o m ( Z { O , I , M } , N { O , I , M } ) , {\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {M} \}},\,{\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {M} \}}),} ale nie jest w h o m ( Z { O , I , A } , N { O , I , A } ) . {\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}},\,{\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}).}
  3. Jedynym homomorfizmem Z { O , A , M } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} w N { O , A , M } {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} jest h 0. {\displaystyle h\equiv 0.}
  4. Jedynymi homomorfizmami N { O , A , M } {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} w Z { O , A , M } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} h 0 {\displaystyle h\equiv 0} i h i d N . {\displaystyle h\equiv \mathbf {id} _{\mathbb {N} }.}
  5. Jedynym homomorfizmem N { O , I , A , M } {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} w Z { O , I , A , M } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}} jest h i d N . {\displaystyle h\equiv \mathbf {id} _{\mathbb {N} }.}
  6. Jedynymi homomorfizmami N { O , A } {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}} i Z { O , A } {\displaystyle {\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}} są postaci N x k x Z , {\displaystyle \mathbb {N} \ni x\mapsto k\cdot x\in \mathbb {Z} ,} dla pewnego k Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry | edytuj kod

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie algebrą sygnatury ς : F N 0 . {\displaystyle \varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} _{0}.}

Relacja równoważności {\displaystyle \approx } w | A | {\displaystyle |{\mathcal {A}}|} jest kongruencją algebry, gdy

a 1 b 1 , , a ς ( f ) b ς ( f ) A ( f ) ( a 1 , , a ς ( f ) ) A ( f ) ( b 1 , , b ς ( f ) ) , {\displaystyle a_{1}\approx b_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\approx b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\quad \Rightarrow \quad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})\approx {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(b_{1},\dots ,b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}),} a 1 , , a ς ( f ) , b 1 , , b ς ( f ) | A | , f F . {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})},\;b_{1},\dots ,b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.}

Przykład | edytuj kod

Niech h h o m ( A , B ) {\displaystyle h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})} i niech

a h b h ( a ) = h ( b ) , a , b | A | {\displaystyle a\approx _{h}b\quad \Leftrightarrow \quad h(a)=h(b),\qquad a,b\in |{\mathcal {A}}|}

Wówczas h {\displaystyle \approx _{h}} jest kongruencją algebry A . {\displaystyle {\mathcal {A}}.}

Algebra ilorazowa | edytuj kod

Niech A {\displaystyle {\mathcal {A}}} będzie algebrą sygnatury ς : F N 0 {\displaystyle \varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} _{0}} i niech {\displaystyle \approx } będzie kongruencją w A . {\displaystyle {\mathcal {A}}.}

Algebrą ilorazową A {\displaystyle {\mathcal {A}}} przez {\displaystyle \approx } jest algebra A / , {\displaystyle {\mathcal {A}}/\!_{\approx },} której uniwersum jest zbiór ilorazowy | A | / {\displaystyle |{\mathcal {A}}|/\!_{\approx }} i w której:

( A / ) ( f ) ( a 1 / , , a ς ( f ) / ) = ( A ( f ) ( a 1 , , a ς ( f ) ) ) / , a 1 , , a ς ( f ) | A | , f F {\displaystyle \left({\mathcal {A}}\!/\!_{\approx }\right)({\mathfrak {f}})(a_{1}/\!_{\approx },\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}/\!_{\approx })=\left({\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})\right)\!\!/\!_{\approx },\qquad a_{1},\dots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}}

Przyporządkowanie | A | a a / | A | / {\displaystyle |{\mathcal {A}}|\ni a\mapsto a\!/\!_{\approx }\in |{\mathcal {A}}|/\!_{\approx }} nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem κ . {\displaystyle \kappa _{\approx }.} Jest ono homomorfizmem algebr A {\displaystyle {\mathcal {A}}}   i   A / . {\displaystyle {\mathcal {A}}/\!_{\approx }.}

Zasadnicze twierdzenie algebry | edytuj kod

Niech h h o m ( A , B ) , {\displaystyle h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}),} wówczas A / h {\displaystyle {\mathcal {A}}\!/\!_{\approx _{h}}} i i m ( h ) {\displaystyle \mathbf {im} (h)} są izomorficzne.

Szczególne algebry | edytuj kod

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór | edytuj kod

 Osobny artykuł: zbiór.

Zbiór to algebra S {\displaystyle {\mathcal {S}}} sygnatury ς s e t = . {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {set} }=\varnothing .}

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem | edytuj kod

 Osobny artykuł: zbiór z wyróżnionym punktem.

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra S {\displaystyle {\mathcal {S}}} sygnatury ς s e t = { P 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {set\bullet } }=\{\mathbf {P} \mapsto 0\},} gdzie element P S {\displaystyle \mathbf {P} ^{\mathcal {S}}} nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry S . {\displaystyle {\mathcal {S}}.}

Element ten oznacza się niekiedy symbolem . {\displaystyle \bullet .} Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym 0 {\displaystyle 0} ).

Algebra unarna | edytuj kod

Algebra unarna to algebra U {\displaystyle {\mathcal {U}}} sygnatury ς u n a l g = { R 1 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {unalg} }=\{\mathbf {R} \mapsto 1\},} gdzie R A ( x ) {\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathcal {A}}(x)} może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. x , {\displaystyle \sim \!x,} ¬ x , {\displaystyle \neg x,} czy x {\displaystyle -x} w notacji prefiksowej, x , {\displaystyle x',} x 1 {\displaystyle x^{-1}} w notacji postfiksowej, czy też x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid | edytuj kod

 Osobny artykuł: grupoid.

Grupoid to algebra A {\displaystyle {\mathcal {A}}} sygnatury ς g r p d = { M 2 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {grpd} }=\{\mathbf {M} \mapsto 2\},} czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast A ( M ) ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {M} )(x,y)} zwykle pisze się x y {\displaystyle x\cdot y} lub nawet x y {\displaystyle xy} (tzw. notacja multiplikatywna) lub x + y {\displaystyle x+y} (tzw. notacja addytywna), gdzie x , y | A | . {\displaystyle x,y\in |{\mathcal {A}}|.}

W notacji multiplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa | edytuj kod

 Osobny artykuł: quasi-grupa.

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do sygnatury ς q g r p = ς g r p d { D l 2 , D r 2 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {qgrp} }=\varsigma _{\mathbf {grpd} }\cup \{\mathbf {D_{l}} \mapsto 2,\mathbf {D_{r}} \mapsto 2\},} w którym spełnione są równości:

x ( x y ) = y , x ( x y ) = y , ( x / y ) y = x , ( x y ) / y = x , {\displaystyle x\cdot (x\backslash y)=y,\;x\backslash (x\cdot y)=y,\;(x/y)\cdot y=x,\;(x\cdot y)/y=x,}

gdzie:

x y := A ( D l ) ( x , y ) , x / y := A ( D r ) ( x , y ) , {\displaystyle x\backslash y:={\mathcal {A}}(\mathbf {D_{l}} )(x,y),\;x/y:={\mathcal {A}}(\mathbf {D_{r}} )(x,y),} gdzie x , y | A | . {\displaystyle x,y\in |{\mathcal {A}}|.}

Działania „ / {\displaystyle /} ” i „ {\displaystyle \backslash } ” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa | edytuj kod

 Zobacz też: quasi-grupa.

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do sygnatury ς q g r p { E 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {qgrp} }\cup \{\mathbf {E} \mapsto 0\},} które spełnia równości

x e = e x = x , x | A | , {\displaystyle x\cdot \mathbf {e} =\mathbf {e} \cdot x=x,\;x\in |{\mathcal {A}}|,}

gdzie e = A ( E ) . {\displaystyle \mathbf {e} ={\mathcal {A}}(\mathbf {E} ).}

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa | edytuj kod

 Osobny artykuł: półgrupa.

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid | edytuj kod

 Osobny artykuł: monoid.

Monoid to wzbogacenie półgrupy A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do sygnatury ς m o n = ς g r p d { E 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {mon} }=\varsigma _{\mathbf {grpd} }\cup \{\mathbf {E} \mapsto 0\},} które spełnia równości

x e = e x = x , x | A | , {\displaystyle x\cdot \mathbf {e} =\mathbf {e} \cdot x=x,\;x\in |{\mathcal {A}}|,}

gdzie e = A ( E ) {\displaystyle \mathbf {e} ={\mathcal {A}}(\mathbf {E} )} w notacji multiplikatywnej, często też 1 = A ( E ) . {\displaystyle 1={\mathcal {A}}(\mathbf {E} ).} W notacji addytywnej zamiast A ( E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {E} )} pisze się zwykle 0. {\displaystyle 0.}

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa | edytuj kod

 Osobny artykuł: grupa (matematyka).

Grupa jest wzbogaceniem monoidu A {\displaystyle {\mathcal {A}}} do sygnatury ς m o n { R 1 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {mon} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1\},} które spełnia równości

x A ( R ) ( x ) = A ( R ) ( x ) x = e {\displaystyle x\cdot {\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)={\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)\cdot x=\mathbf {e} } dla x | A | . {\displaystyle x\in |{\mathcal {A}}|.}

Standardowym oznaczeniem A ( R ) ( x ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)} jest x 1 , {\displaystyle x^{-1},} niekiedy również x , {\displaystyle x',} w notacji multiplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do x . {\displaystyle x.} W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem x {\displaystyle -x} i nazywa elementem przeciwnym do x . {\displaystyle x.}

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień | edytuj kod

 Osobne artykuły: pierścień (matematyka)pierścień przemienny.

Pierścień to algebra R {\displaystyle {\mathcal {R}}} sygnatury ς r i n g = A M N Z 2 2 1 0 , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {ring} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle ,} dla której redukt R | { A / M , N / R , Z / E } {\displaystyle {\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} /\mathbf {R} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}}} jest grupą przemienną, a R | { M } {\displaystyle {\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} \}}} jest półgrupą oraz spełnione są równości:

x ( y + z ) = x y + x z {\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z} i ( x + y ) z = x z + y z {\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z} dla x , y , z | R | , {\displaystyle x,y,z\in |{\mathcal {R}}|,}

gdzie:

x + y = A R ( x , y ) , {\displaystyle x+y=\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}(x,y),} x y = M R ( x , y ) , {\displaystyle x\cdot y=\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}(x,y),} x = N R ( x ) , {\displaystyle -x=\mathbf {N} ^{\mathcal {R}}(x),} 0 = Z R {\displaystyle 0=\mathbf {Z} ^{\mathcal {R}}}

dla x , y | R | . {\displaystyle x,y\in |{\mathcal {R}}|.}

Działanie A R {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathcal {R}}} nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie M R {\displaystyle \mathbf {M} ^{\mathcal {R}}} jego mnożeniem.

Uwaga
W dowolnym pierścieniu zachodzi 0 x = x 0 = 0. {\displaystyle 0\cdot x=x\cdot 0=0.} Ponieważ 0 x = ( 0 + 0 ) x = 0 x + 0 x , {\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x,} to 0 x = 0. {\displaystyle 0\cdot x=0.} Podobnie x 0 = 0. {\displaystyle x\cdot 0=0.}

Pierścień, w którym działanie M R {\displaystyle \mathbf {M} ^{\mathcal {R}}} jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką | edytuj kod

 Osobny artykuł: pierścień z jedynką.

Pierścień z jedynką to algebra R {\displaystyle {\mathcal {R}}} sygnatury ς r i n g 1 = ς r i n g { J 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {ring1} }=\varsigma _{\mathbf {ring} }\cup \{\mathbf {J} \mapsto 0\},} że R { A , M , N , Z } {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}} jest pierścieniem, a R { M , J / E } {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}} jest monoidem.

Element J R {\displaystyle \mathbf {J} ^{\mathcal {R}}} nazywamy jedynką pierścienia R . {\displaystyle {\mathcal {R}}.} Oznaczamy go zazwyczaj symbolem 1. {\displaystyle 1.}

Pierścień z dzieleniem | edytuj kod

 Osobny artykuł: pierścień z dzieleniem.

Pierścień z dzieleniem to algebra R {\displaystyle {\mathcal {R}}} sygnatury ς r i n g 1 { R 1 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {ring1} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1\},} że R | { A , M , N , Z } {\displaystyle {\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}} jest pierścieniem, a R | { M , R , J / E } {\displaystyle {\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {R} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}} jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

x 1 = R R ( x ) , {\displaystyle x^{-1}=\mathbf {R} ^{\mathcal {R}}(x),} gdzie x | R | . {\displaystyle x\in |{\mathcal {R}}|.}

Ciało | edytuj kod

 Osobny artykuł: ciało (matematyka).

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata | edytuj kod

 Osobny artykuł: krata (matematyka).

Kratą nazywamy algebrę K {\displaystyle {\mathcal {K}}} sygnatury ς l a t t = { A 2 , K 2 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {latt} }=\{\mathbf {A} \mapsto 2,\mathbf {K} \mapsto 2\},} w której spełnione są równości:

x y = y x , x ( y z ) = ( x y ) z , x ( x y ) = x , {\displaystyle x\sqcap y=y\sqcap x,\quad x\sqcap (y\sqcap z)=(x\sqcap y)\sqcap z,\quad x\sqcap (x\sqcup y)=x,} x y = y x , x ( y z ) = ( x y ) z , x ( x y ) = x , {\displaystyle x\sqcup y=y\sqcup x,\quad x\sqcup (y\sqcup z)=(x\sqcup y)\sqcup z,\quad x\sqcup (x\sqcap y)=x,}

gdzie użyto oznaczeń

x y = K ( A ) ( x , y ) {\displaystyle x\sqcup y={\mathcal {K}}(\mathbf {A} )(x,y)}

oraz

x y = K ( K ) ( x , y ) . {\displaystyle x\sqcap y={\mathcal {K}}(\mathbf {K} )(x,y).}

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) {\displaystyle x\sqcap (y\sqcup z)=(x\sqcap y)\sqcup (x\sqcap z)}

bądź

x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) . {\displaystyle x\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (x\sqcup z).}

Innym warunkiem, tak koniecznym, jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

( x y ) ( y z ) ( y z ) = ( x y ) ( y z ) ( y z ) , {\displaystyle (x\sqcap y)\sqcup (y\sqcap z)\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (y\sqcup z)\sqcap (y\sqcup z),} gdzie x , y , z | K | . {\displaystyle x,y,z\in |{\mathcal {K}}|.}

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty rozdzielne:

Krata dualna | edytuj kod

Redukt K d = K | { A / K , K / A } {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }={\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {K} ,\mathbf {K} /\mathbf {A} \}}} jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do K . {\displaystyle {\mathcal {K}}.} Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem” | edytuj kod

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty K {\displaystyle {\mathcal {K}}} do sygnatury ς l a t t _ 0 = ς l a t t { O 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {latt\_0} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0\},} w której spełnione są równości:

x = {\displaystyle x\sqcap \bot =\bot } oraz x = x , {\displaystyle x\sqcup \bot =x,}

gdzie element = K ( O ) {\displaystyle \bot ={\mathcal {K}}(\mathbf {O} )} nazywa się spodem lub zerem kraty K . {\displaystyle {\mathcal {K}}.}

Krata z „jedynką” | edytuj kod

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty K {\displaystyle {\mathcal {K}}} do sygnatury ς l a t t _ 1 = ς l a t t { I 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {latt\_1} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {I} \mapsto 0\},} w której spełnione są równości:

x = x {\displaystyle x\sqcap \top =x} oraz x = , {\displaystyle x\sqcup \top =\top ,}

gdzie element = K ( I ) {\displaystyle \top ={\mathcal {K}}(\mathbf {I} )} nazywa się szczytem lub jedynką kraty K . {\displaystyle {\mathcal {K}}.}

Krata ograniczona | edytuj kod

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty K {\displaystyle {\mathcal {K}}} do sygnatury ς l a t t _ 01 = ς l a t t { O 0 , I 0 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {latt\_01} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0,\mathbf {I} \mapsto 0\},} że K | { A , K , O } {\displaystyle {\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {O} \}}} jest kratą z zerem, a K | { A , K , I } {\displaystyle {\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {I} \}}} jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna | edytuj kod

 Zobacz też: algebra Boole’a.

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury ς l c m p l = ς l a t t _ 01 { N 1 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {lcmpl} }=\varsigma _{\mathbf {latt\_01} }\cup \{\mathbf {N} \mapsto 1\},} w której spełnione są równości:

x ¬ x = {\displaystyle x\sqcap \neg x=\bot } oraz x ¬ x = , {\displaystyle x\sqcup \neg x=\top ,}

gdzie ¬ x = K ( N ) ( x ) {\displaystyle \neg x={\mathcal {K}}(\mathbf {N} )(x)} nazywa się uzupełnieniem elementu x {\displaystyle x} w K . {\displaystyle {\mathcal {K}}.}

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole’a.

Redukt K d = K | { A / K , K / A , N , O / I , I / O } {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }={\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {K} ,\mathbf {K} /\mathbf {A} ,\mathbf {N} ,\mathbf {O} /\mathbf {I} ,\mathbf {I} /\mathbf {O} \}}} jest także algebrą Boole’a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry K . {\displaystyle {\mathcal {K}}.}

Krata implikacyjna | edytuj kod

Relacja {\displaystyle \leqslant } zdefiniowana wzorem

x y x y = x {\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcap y=x}

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje {\displaystyle \sqcap } i {\displaystyle \sqcup } są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

x y x y = y . {\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcup y=y.}

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty K {\displaystyle {\mathcal {K}}} do sygnatury ς l i m p l = ς l a t t _ 1 { C 2 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {limpl} }=\varsigma _{\mathbf {latt\_1} }\cup \{\mathbf {C} \mapsto 2\},} w której zachodzi:

x z y z x y , {\displaystyle x\sqcap z\leqslant y\Leftrightarrow z\leqslant x\to y,}

gdzie element x y = K ( C ) ( x , y ) {\displaystyle x\to y={\mathcal {K}}(\mathbf {C} )(x,y)} nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu x {\displaystyle x} względem y . {\displaystyle y.}

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

x x = {\displaystyle x\to x=\top } dla dowolnego x | K | . {\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|.}

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga | edytuj kod

 Osobny artykuł: algebra Heytinga.

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej K {\displaystyle {\mathcal {K}}} do sygnatury ς L H = ς l i m p l { O 0 , N 1 } , {\displaystyle \varsigma _{\mathbf {LH} }=\varsigma _{\mathbf {limpl} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0,\mathbf {N} \mapsto 1\},} której redukt K | { A , K , O } {\displaystyle {\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {O} \}}} jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

¬ x = x , {\displaystyle \neg x=x\to \bot ,}

gdzie ¬ x = N K ( x ) {\displaystyle \neg x=\mathbf {N} ^{\mathcal {K}}(x)} dla x | K | . {\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|.}

Uwaga
Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole’a:

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
  3. Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  4. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2012, s. 164, 165. ISBN 978-83-01-14415-9.
Kontrola autorytatywna (pojęcie matematyczne):
Na podstawie artykułu: "Algebra ogólna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy