Analiza harmoniczna


Analiza harmoniczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Analiza harmoniczna – dział matematyki obejmujący teorię i zastosowania szeregu Fouriera i transformaty Fouriera.

Analiza ta prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:

y t = α 0 + t = 1 n 2 { α i sin ( 2 π n i t ) + β i cos ( 2 π n i t ) } , {\displaystyle y_{t}=\alpha _{0}+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}

gdzie:

α 0 , α 1 , β 1 {\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{1}} – parametry modelu.

W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje natomiast postać

y t = f ( t ) + t = 1 n 2 { α i sin ( 2 π n i t ) + β i cos ( 2 π n i t ) } , {\displaystyle y_{t}=f(t)+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}

zaś parametry modelu wynoszą:

a 0 = 1 n t = 1 n y t , {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt,} a i = 2 n t = 1 n y t sin ( 2 π n i t ) {\displaystyle a_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}} dla i = 1 , 2 , , n 2 1 , {\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1,} b i = 2 n t = 1 n y t sin ( 2 π n i t ) {\displaystyle b_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}} dla i = 1 , 2 , , n 2 1. {\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1.}

Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej natomiast:

a n 2 = 0 , {\displaystyle a_{\frac {n}{2}}=0,} b n 2 = 1 n i = 1 n y t cos ( π t ) {\displaystyle b_{\frac {n}{2}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}yt\cdot \cos(\pi \cdot t)} [1].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Statystyka od A do Z portal edukacyjny poświęcony statystyce, www.statystyka.az.pl [dostęp 2018-01-04] .
Kontrola autorytatywna (dziedzina matematyki):
Na podstawie artykułu: "Analiza harmoniczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy