Analiza wymiarowa


Analiza wymiarowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowanym w fizyce, chemii oraz inżynierii (głównie mechanicznej oraz chemicznej), opartym na teorii podobieństwa, stosowanym do wyznaczania warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych charakteryzujących dane zjawisko.

Przykład | edytuj kod

Każdą zależność funkcyjną (nieznaną) można zapisać jako funkcję kilku parametrów fizycznych (niezależnych, np. temperatura, czas itp.), z których każdy posiada swój wymiar (w układzie SI będzie to np. metr lub sekunda). Najprostszy taki przypadek (spadek ciśnienia w przewodzie) można wyrazić jako funkcję długości przewodu ( l ) , {\displaystyle (l),} średnicy przewodu ( d ) , {\displaystyle (d),} prędkości płynu ( u ) , {\displaystyle (u),} lepkości dynamicznej płynu ( μ ) {\displaystyle (\mu )} oraz gęstości płynu ( ρ ) {\displaystyle (\rho )} :

Δ p = f ( d , l , u , μ , ρ ) . {\displaystyle \Delta p={\it {f{\rm {\left(d,l,u,\mu ,\rho \right).}}}}}

Założone parametry mają następujące wymiary:

d = L , {\displaystyle [d]={\rm {{L},}}} l = L , {\displaystyle [l]={\rm {{L},}}} u = L T , {\displaystyle [u]={\frac {\rm {L}}{\rm {T}}},} μ = M L T , {\displaystyle \left[\mu \right]={\frac {\rm {M}}{\rm {{L}\cdot {\rm {T}}}}},} ρ = M L 3 . {\displaystyle \left[\rho \right]={\frac {\rm {M}}{\rm {{L}^{3}}}}.}

Każdą taką funkcję można wyrazić w postaci potęgowej:

Δ p = C d A l B u D μ E ρ F , {\displaystyle \Delta p=C\cdot d^{A}\cdot l^{B}\cdot u^{D}\cdot \mu ^{E}\cdot \rho ^{F},}

gdzie litery od A {\displaystyle A} do F {\displaystyle F} oznaczają stałe.

Zgodnie z zasadą zgodności wymiarowej, wartość po lewej stronie równania musi równać się wartości po prawej stronie równania. Przyjmując, że wymiarem ciśnienia jest M L T 2 {\displaystyle {\frac {\rm {M}}{\rm {{L}\cdot {\rm {{T}^{2}}}}}}} równanie przyjmuje postać:

M 1 L 1 T 2 = C L A L B L D T D M E L E T E M F L 3 F . {\displaystyle {\rm {{M}^{1}\cdot {\rm {{L}^{-1}\cdot {\rm {{T}^{-2}=C\cdot {\rm {{L}^{A}\cdot {\rm {{L}^{B}\cdot {\rm {{L}^{D}\cdot {\rm {{T}^{-D}\cdot {\rm {{M}^{E}\cdot {\rm {{L}^{-E}\cdot {\rm {{T}^{-E}\cdot {\rm {{M}^{F}\cdot {\rm {{L}^{-3F}.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Z porównania wykładników potęgowych wymiarów po lewej oraz po prawej stronie równania powstaje układ trzech równań:

dla   L M T { 1 = A + B + D E 3 F 1 = E + F 2 = D E {\displaystyle {\begin{array}{l}{\rm {L}}\\{\rm {M}}\\{\rm {T}}\end{array}}\left\{{\begin{array}{l}-1=A+B+D-E-3F\\1=E+F\\-2=-D-E\end{array}}\right.}

Jest to układ trzech równań z pięcioma niewiadomymi. Można go rozwiązać, przyjmując dwie z pięciu wartości za znane (np. B {\displaystyle B} oraz E {\displaystyle E} ).

F = 1 E , {\displaystyle F=1-E,} D = 2 E , {\displaystyle D=2-E,} A = 3 F + E 1 B D , {\displaystyle A=3F+E-1-B-D,} A = 3 3 E + E 1 B 2 + E , {\displaystyle A=3-3E+E-1-B-2+E,} A = E B . {\displaystyle A=-E-B.}

Ostateczna postać wzoru:

Δ p = C d E B l B u 2 E μ E ρ 1 E , {\displaystyle \Delta p=C\cdot d^{-E-B}\cdot l^{B}\cdot u^{2-E}\cdot \mu ^{E}\cdot \rho ^{1-E},} Δ p ρ u 2 = C ( l d ) B ( μ u d ρ ) E , {\displaystyle {\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}=C\cdot \left({\frac {l}{d}}\right)^{B}\cdot \left({\frac {\mu }{ud\rho }}\right)^{E},} Δ p ρ u 2 = C ( l d ) B ( u d ρ μ ) E , {\displaystyle {\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}=C\cdot \left({\frac {l}{d}}\right)^{B}\cdot \left({\frac {ud\rho }{\mu }}\right)^{-E},} E u = f ( l d , R e ) , {\displaystyle {\rm {{Eu}={\it {f{\rm {\left({\frac {l}{d}},Re\right),}}}}}}}

gdzie:

Re – liczba Reynoldsa, Eu – liczba Eulera.

Twierdzenie Buckinghama | edytuj kod

Twierdzenie Buckinghama (znany również jako twierdzenie Π) mówi, że liczba modułów bezwymiarowych równa jest liczbie niezależnych parametrów fizycznych pomniejszonych o liczbę wymiarów podstawowych (metr, sekunda, kilogram, kelwin, amper, kandela).

Równanie o n zmiennych, można zapisać w postaci:

f ( Q 1 , Q 2 , Q 3 . . . Q n ) = 0. {\displaystyle {\it {f{\rm {\left(Q_{1},Q_{2},Q_{3}...Q_{n}\right)=0.}}}}}

Jeżeli liczbę parametrów podstawowych występującym w tym równaniu oznaczymy przez r, to zgodnie z teorematem Π liczba modułów bezwymiarowych będzie równa n-r, co można zapisać:

f ( π 1 , π 2 , π 3 . . . π n r ) = 0. {\displaystyle {\it {f{\rm {\left(\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3}...\pi _{n-r}\right)=0.}}}}}

W omówionym przykładzie liczba parametrów niezależnych (n) równa jest 6, liczba wartości podstawowych występującym w tym równaniu (r) jest równa 3 (m, kg, s) tak więc liczba modułów bezwymiarowych (Π) równa jest 3.

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (metoda naukowa):
Na podstawie artykułu: "Analiza wymiarowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy