Aproksymacja


Aproksymacja w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Wstęp | edytuj kod

Aproksymacja (łac. approximare - przybliżać) - polega na budowaniu rozwiązań przybliżających, w pewien określony sposób, ścisłe rozwiązanie jakiegoś problemu, które nie da się przedstawić w jawnej postaci analitycznej[1]. Najczęściej aproksymację stosuje się do przedstawienia funkcji f ( x ) {\displaystyle \,f(x)\,} w innej, zazwyczaj prostszej postaci φ ( x ) , {\displaystyle \,\varphi (x),} umożliwiającej efektywne rozwiązanie postawionego problemu. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład

  • przy obliczaniu całek oznaczonych z funkcji, które nie dają się scałkować ściśle,
  • przy rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, kiedy poszukuje się niewiadomych funkcji,
  • przy opracowywaniu wyników pomiarów znanych tylko na dyskretnym zbiorze punktów (np. w meteorologii).

Aproksymacja może być dokonywana na różne sposoby i dlatego można poszukiwać aproksymacji optymalnej w ściśle określonym sensie.

Uwagi ogólne | edytuj kod

Ogólnie rzecz ujmując aproksymacja polega na przybliżaniu pewnej funkcji f ( x ) , {\displaystyle \,f(x),} w obszarze Ω {\displaystyle \,\Omega \,} jej określoności, za pomocą innej, prostszej funkcji przybliżającej φ ( x ) , {\displaystyle \,\varphi (x),} określonej w tym samym obszarze, której wartości zależą od pewnej liczby parametrów. Najczęściej jako funkcje φ ( x ) , {\displaystyle \,\varphi (x),} stosuje się wielomiany uogólnione w postaci

w której funkcje φ i ( x ) {\displaystyle \,\varphi _{i}(x)\,} tworzą tzw. bazę aproksymacji

B ( x ) = φ 1 ( x ) , φ 2 ( x ) , . . . φ n ( x ) {\displaystyle \mathbf {B} (x)=[\varphi _{1}(x),\,\varphi _{2}(x),\,...\,\varphi _{n}(x)]}

zaś a i {\displaystyle \,a_{i}\,} są liczbowymi współrzędnymi funkcji f ( x ) {\displaystyle \,f(x)\,} względem przyjętej bazy. Dobór tych współczynników może się odbywać na różne sposoby, przy czym powinien on być taki, aby błąd aproksymacji był jak najmniejszy.

Jednym z praktycznych sposobów budowania aproksymacji w pewnym sensie optymalnej, jest metoda minimalizacji błędu przybliżenia, określonego iloczynem skalarnym różnicy funkcji φ ( x ) , f ( x ) {\displaystyle \,\varphi (x),\,f(x)}

przy czym ten iloczyn może być definiowany na dwa sposoby[2]:

g h = Ω g ( x ) h ( x ) d Ω l u b g h = i = 1 n g ( x i ) h ( x i ) , x i Ω . {\displaystyle \langle g\cdot h\rangle =\int _{\Omega }g(x)h(x)d\Omega \quad lub\quad \langle g\cdot h\rangle =\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})h(x_{i}),\;\;x_{i}\in \Omega .}

Minimalizacja tak określonego błędu wymaga, aby

1 2 R a k = a k ( φ f ) 2 = ( φ f ) a k φ = ( φ f ) φ k = {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\partial R}{\partial a_{k}}}={\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\langle (\varphi -f)^{2}\rangle ={\big \langle }(\varphi -f)\cdot {\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\varphi {\big \rangle }={\big \langle }(\varphi -f)\cdot \varphi _{k}{\big \rangle }=} = φ φ k f φ k = i = 1 n φ k φ i a i φ k f = 0 , k = 1 , 2 , . . . n . {\displaystyle =\langle \varphi \cdot \varphi _{k}\rangle -\langle f\cdot \varphi _{k}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{i}\rangle a_{i}-\langle \varphi _{k}\cdot f\rangle =0,\quad k=1,\,2,\,...\,n.}


Zdefiniowanie najlepszej aproksymacji | edytuj kod

  • W przestrzeniach unormowanych

Niech dana będzie przestrzeń liniowa X {\displaystyle X} z normą {\displaystyle \|\cdot \|} i niech V X {\displaystyle V\subset X} będzie podprzestrzenią liniową X {\displaystyle X} skończonego wymiaru. Zadanie najlepszej aproksymacji polega na znalezieniu takiego v V {\displaystyle v^{*}\in V} (elementu najlepszej aproksymacji dla danego x X {\displaystyle x\in X} ), że zachodzi:

v V x v x v {\displaystyle {\forall {v\in V}}\quad \|x-v^{*}\|\leqslant \|x-v\|}

Należy przez to rozumieć, że element v {\displaystyle v^{*}} jest elementem „najbliższym” do aproksymowanego x {\displaystyle x} spośród wszystkich elementów v V . {\displaystyle v\in V.}

Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne, tzn. dla każdego x X {\displaystyle x\in X} istnieje element najlepszej aproksymacji v , {\displaystyle v^{*},} ale niekoniecznie jest on jedyny. Należy zauważyć, że element najlepszej aproksymacji zależy od normy, jaka została przyjęta w przestrzeni X . {\displaystyle X.}

  • W przestrzeniach unitarnych

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym , {\displaystyle \,\langle \cdot ,\cdot \rangle \,} i niech norma w X {\displaystyle X} będzie generowana tym iloczynem: x = x , x . {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}

Wtedy dla danego x X {\displaystyle \,x\in X\,} element najlepszej aproksymacji v {\displaystyle v^{*}} jest jedyny i jest określony następująco:

v V     x v , v = 0. {\displaystyle \forall {v\in V}\ \ \langle x-v^{*},v\rangle =0.}

Aproksymacja funkcji | edytuj kod

Aproksymacje można wykorzystać w sytuacji, gdy nie istnieje funkcja analityczna pozwalająca na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Mogą to być na przykład wyniki badań aktywności biologicznej dla wielu konfiguracji leków. Do wyznaczenia aproksymowanej aktywności biologicznej nieznanego leku można wówczas zastosować jedną z wielu metod aproksymacyjnych.

Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych[3]. Od funkcji aproksymującej, przybliżającej zadaną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty, tak jak to ma miejsce w interpolacji. Z matematycznego punktu widzenia aproksymacja funkcji f {\displaystyle \,f\,} w pewnej przestrzeni Hilberta H {\displaystyle H} jest zagadnieniem polegającym na odnalezieniu pewnej funkcji g G , {\displaystyle \,g\in G,} gdzie G {\displaystyle \,G\,} jest podprzestrzenią H , {\displaystyle \,H,} tj. G H {\displaystyle G\subset H} takiej, by odległość (w sensie obowiązującej w H {\displaystyle H} normy) między f {\displaystyle f} a g {\displaystyle \,g\,} była jak najmniejsza. Funkcja aproksymująca może wygładzać daną funkcję (gdy funkcja jest gładka, jest też różniczkowalna).

Aproksymacja funkcji powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji[4]. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być wielomianem wysokiego stopnia (w ogóle nie musi być wielomianem). Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Prawdopodobnie najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby błąd średni.

Istnieje wiele metod aproksymacyjnych. Jednymi z najbardziej popularnych są: aproksymacja średniokwadratowa i aproksymacja jednostajna oraz aproksymacja liniowa, gdzie funkcją bazową jest funkcja liniowa.

Wiele z metod aproksymacyjnych posiada fazę wstępną, zwaną również fazą uczenia, oraz fazę pracy. W fazie wstępnej, metody te, wykorzystując zadane pary punktów i odpowiadających im wartości aproksymacyjnych, niejako „dostosowują” swoją strukturę wewnętrzną, zapisując dane, które zostaną wykorzystane później w fazie pracy, gdzie dla zadanego punktu dana metoda wygeneruje odpowiadającą mu wartość bądź wartości aproksymowane. Funkcja aproksymująca może być przedstawiona w różnej postaci. Najczęściej jest to postać:

Funkcje aproksymujące w postaci wielomianu i funkcji sklejanych można wykorzystać nie tylko wtedy, gdy funkcja aproksymowana jest w postaci jednej zmiennej.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, cz.2, PWN, Warszawa 1965
  2. J. Legras, Praktyczne metody analizy numerycznej, WNT, Warszawa 1974
  3. Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 74.
  4. Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 73.
Błąd w przypisach: Znacznik <ref> o nazwie „Zien”, zdefiniowany w <references>, nie był użyty wcześniej w treści.BŁĄD PRZYPISÓW

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (wartość):
Na podstawie artykułu: "Aproksymacja" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy