Aproksymacja liniowa


Aproksymacja liniowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))}

Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowa | edytuj kod

 Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora | edytuj kod

Dla danej funkcji różniczkowalnej f {\displaystyle f} jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla n = 1 {\displaystyle n=1} można napisać:

f ( x ) = f ( a ) + f ( a ) ( x a ) + R 2 ( x ) , {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}(x),}

gdzie R 2 {\displaystyle R_{2}} jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:

lim x a R 2 ( x ) x a = 0. {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{2}(x)}{x-a}}=0.}

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

f ( x ) f ( a ) + f ( a ) ( x a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}

i przybliżenie to jest tym lepsze, im x {\displaystyle x} jest bliższe a . {\displaystyle a.} Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f ( x ) , {\displaystyle f(x),} w punkcie o współrzędnych ( a , f ( a ) ) . {\displaystyle (a,f(a)).}

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:

f ( x , y ) f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x a ) + f y ( a , b ) ( y b ) . {\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} w punkcie o współrzędnych ( a , b , f ( a , b ) ) . {\displaystyle (a,b,f(a,b)).}

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

f ( x ) f ( a ) + D f ( a ) ( x a ) , {\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a),}

gdzie D f ( a ) {\displaystyle Df(a)} jest pochodną Frecheta funkcji f {\displaystyle f} dla x = a . {\displaystyle x=a.}

Przykład | edytuj kod

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości 25 3 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}.}

  1. Rozważana jest funkcja f ( x ) = x 1 / 3 . {\displaystyle f(x)=x^{1/3}.} Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji f ( 25 ) . {\displaystyle f(25).}
  2. Jest f ( x ) = 1 / 3 x 2 / 3 . {\displaystyle f'(x)=1/3x^{-2/3}.}
  3. Korzystając z aproksymacji liniowej: f ( 25 ) f ( 27 ) + f ( 27 ) ( 25 27 ) = 3 2 / 27. {\displaystyle f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27.}
  4. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…
Na podstawie artykułu: "Aproksymacja liniowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy