Argument liczby zespolonej


Argument liczby zespolonej w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Argument główny liczby zespolonej Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie. Dla każdego punktu na płaszczyźnie arg {\displaystyle \arg } jest funkcją, która zwraca kąt φ. Dwie opcje argumentu φ Główną wartością arg {\displaystyle \arg } niebieskiego punktu 1 + i {\displaystyle 1+i} jest π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}

Argument liczby zespolonejmiara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z {\displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: Arg ( z ) . {\displaystyle {\mbox{Arg}}(z).}

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność 2 π . {\displaystyle 2\pi .} Argument sprowadzony do przedziału 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} [1][2][3], lub ( π , π {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} [4][5], nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: arg ( z ) . {\displaystyle \arg(z).}

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

a + b i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , {\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi ),}

gdzie r = a 2 + b 2 = | z | {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|} jest modułem liczby zespolonej, a ϕ {\displaystyle \phi } jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

φ = { arctg ( b a ) , gdy  a > 0 arctg ( b a ) + π , gdy  a < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}}

Dla liczb urojonych, z = b i : {\displaystyle z=bi{:}}

φ = { 1 2 π , gdy  b > 0 1 2 π , gdy  b < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}}

Dla liczby z = 0 , {\displaystyle z=0,} argument jest nieokreślony.

Niech a + b i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) {\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )} oraz niech c + d i = ρ ( cos ψ + i sin ψ ) , {\displaystyle c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi ),} wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

  • ( a + b i ) ( c + d i ) = r ρ ( cos ( ϕ + ψ ) + i sin ( ϕ + ψ ) ) {\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))}
  • a + b i c + d i = r ρ ( cos ( ϕ ψ ) + i sin ( ϕ ψ ) ) {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))}

Przypisy | edytuj kod

  1. Mostowski, Stark – Elementy algebry wyższej.
  2. Bogdan Miś – Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki.
  3. Reinhardt, Soeder – Atlas matematyki.
  4. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complex Argument, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
  5. Encyklopedia szkolna – Matematyka.
Na podstawie artykułu: "Argument liczby zespolonej" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy