Asymptota


Asymptota w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Funkcja 1 x + x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}+x} ma dwie asymptoty: y = x {\displaystyle y=x} oraz x = 0. {\displaystyle x=0.} Krzywa może przecinać asymptotę również nieskończoną liczbę razy Na powyższym rysunku, funkcja 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} ma dwie asymptoty: x = 0 {\displaystyle x=0} oraz y = 0 , {\displaystyle y=0,} które są obustronne

Asymptota krzywej (gr. ἀσύμπτοτη, „nie stykać się”) – prosta l {\displaystyle l} jest asymptotą danej krzywej C {\displaystyle C} (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej C {\displaystyle C} odległość tego punktu od prostej l {\displaystyle l} dąży do zera.

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Jeśli krzywa dana jest w postaci y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} gdzie f {\displaystyle f} jest funkcją, która nie jest określona w punkcie x = a , {\displaystyle x=a,} to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

  • lim x a f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty } (asymptota lewostronna)
  • lim x a + f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty } (asymptota prawostronna)
  • lim x a f ( x ) = ± lim x a + f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty \wedge \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty } (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa + {\displaystyle +\infty } a druga {\displaystyle -\infty } )

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} dla krzywej danej w postaci y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} można wyznaczyć jako granice:

  • w przypadku asymptoty prawostronnej:
a = lim x + f ( x ) x {\displaystyle a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}} oraz b = lim x + ( f ( x ) a x ) {\displaystyle b=\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)}
  • w przypadku asymptoty lewostronnej:
a = lim x f ( x ) x {\displaystyle a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}} oraz b = lim x ( f ( x ) a x ) {\displaystyle b=\lim _{x\to -\infty }(f(x)-ax)}

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających a {\displaystyle a} lub b {\displaystyle b} nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli a = 0 , {\displaystyle a=0,} to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (prosta):
Na podstawie artykułu: "Asymptota" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy