Błogosławiony błąd


Błogosławiony błąd w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Błogosławiony błąd – pojęcie z zakresu dydaktyki matematyki, oznaczające użycie błędu do pozytywnych celów dydaktycznych, utworzone przez Annę Zofię Krygowską[1][2][3][4][5].

Nauczyciel matematyki nie powinien unikać błędów uczniów, nie powinien ich ignorować[6]. Błędy ucznia w matematyce wykorzystane pozytywnie są zjawiskiem pożądanym i wartościowym[6]. We współczesnej dydaktyce, w której jest miejsce na samodzielne poszukiwanie przez uczniów rozwiązań, sposobów, hipotez, gdzie jest miejsce na twórczość, w której dominują zadania mające wiele różnych prawidłowych rozwiązań, błąd nie musi być porażką, lecz pomaga lepiej zrozumieć problemy, istotę danego zagadnienia, a także własne strategie rozwiązywania problemów[1]. Można uczyć się także na błędach innych – nauczyciele często powtarzają uczniom np. skupcie się, ponieważ w tym miejscu uczniowie często popełniają błędy na sprawdzianie, popatrzcie jeszcze raz[2].

Błędy uczniowskie na lekcjach matematyki określa się błogosławionymi, gdy można je wykorzystać jako punkt wyjścia do badań, analiz, wnioskowania, kształcenia rozumowań matematycznych uczniów, a także ich aktywnej, poszukującej postawy[4]. Uczniowski błąd tworzy bardzo dobrą sytuację dydaktyczną, którą można rozpocząć cały ciąg kształtujących rozumowań[4].

Błogosławiony błąd ucznia może prowadzić także do odkrywania nowych definicji lub faktów i twierdzeń matematycznych[5]. Przykładowo, dzięki błędom uczniowskim, można odkryć prawo łączności mnożenia[5].

Przykłady | edytuj kod

Przykład 1 | edytuj kod

Krygowska rozważała reakcje nauczycieli na następujący błąd ucznia:

sin 3 α + cos 3 α 3 = sin α + cos α {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\sin ^{3}\alpha +\cos ^{3}\alpha }}=\sin \alpha +\cos \alpha }

i opisała je następująco[6].

Jeden nauczyciel poleca innemu uczniowi poprawić błąd. Drugi żąda od ucznia uzasadnienia wykonanego przekształcenia. Trzeci przekonuje ucznia, że zapisana równość jest fałszywa, np. poprzez podstawienie α = 45 . {\displaystyle \alpha =45^{\circ }.} Czwarty poleca uczniowi sprawdzić, czy rzeczywiście pierwiastek trzeciego stopnia z wyrażenia sin 3 α + cos 3 α {\displaystyle \sin ^{3}\alpha +\cos ^{3}\alpha } równa się sin α + cos α , {\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha ,} żądając podniesienia wyrażenia sin α + cos α {\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha } do sześcianu i porównania wyniku z wyrażeniem sin 3 α + cos 3 α . {\displaystyle \sin ^{3}\alpha +\cos ^{3}\alpha .} Walory tych posunięć nie są metodycznie jednakowe. W pierwszym przypadku korzyść dla tego, kto zrobił błąd, jest najmniejsza. W drugim przypadku uczeń, nie znajdując wśród przyswojonych reguł takiej, która by uzasadniała wykonane przekształcenie, przekonuje się, że postąpił bezprawnie, ale o istocie błędu nie dowiaduje się jeszcze niczego. Trzeci sposób jest sprawdzeniem przez kontrprzykład. Uczeń stwierdza, że napisana przez niego równość jest fałszywa, ale nie widzi, dlaczego tak jest. Natomiast w czwartym przypadku nauczyciel osiąga to, że uczeń sam stwierdza błąd, rozumie jego istotny powód, pogłębia i utrwala pojęcie pierwiastka i potęgi oraz jeszcze raz uprzytamnia sobie związek między tymi pojęciami.

[7],

Przykład 2[4] | edytuj kod

Uczeń ma rozwiązać zadanie tekstowe, w którym na odcinku dwóch kilometrów nachylenie drogi wynosi 8%. Zadaniem ucznia jest znalezienie różnicy wysokości między szczytem wzniesienia, a początkiem drogi. Uczeń ten rysuje matematyczny model sytuacji z zadania, czyli trójkąt, w pewnym momencie jednak zamiast funkcji tangens używając funkcji sinus.

Niewykorzystanie błędu ucznia (niewłaściwe reakcje nauczyciela) | edytuj kod

Reakcja pierwsza

Nauczyciel ograniczył się do stwierdzenia, że uczeń źle zdefiniował funkcję tangens, ponieważ pomylił ją z sinusem, więc rozwiązanie jest nieprawidłowe. Następnie nauczyciel przeszedł do rozwiązywania kolejnych zadań.

Reakcja druga

Nauczyciel stwierdził, że dla kątów o niewielkiej mierze wartość tangensa jest w przybliżeniu równa wartości sinusa, więc może zaakceptować to rozwiązanie. Następnie nauczyciel przeszedł do rozwiązywania kolejnych zadań.

W obu przypadkach nie został wykorzystany błąd ucznia. Przedstawione sytuacje nie wykorzystują potencjału uczniów ani okazji, by ich matematycznie uaktywnić.

Wykorzystanie błogosławionego błędu (właściwa reakcja nauczyciela) | edytuj kod

  1. Nauczyciel dostrzega błąd i stwierdza, że całą następną lekcję poświęci dyskusji nad tym zadaniem.
  2. Nauczyciel wyświetla rozwiązanie poprawne oraz rozwiązanie błędne. Pyta: Wygląda na to, że jeśli uczeń odwoływał się do definicji nachylenia drogi oraz funkcji trygonometrycznych, to zrobił błąd, bo zastosował tu niewłaściwą funkcję. Co o tym sądzicie? Uczniowie dyskutują.
  3. Nauczyciel pyta o to, dlaczego jednak jego wynik był prawidłowy. Czy to przypadek?
  4. Następuje porównanie wartości sinusa oraz tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Nauczyciel może przygotować w tym celu interaktywną prezentację, np. w GeoGebrze. Można wykorzystać tablicę interaktywną. Uczniowie sami odkrywają, że dla kątów o niewielkiej mierze wartości te są w przybliżeniu równe.
  5. Uczniowie wspólnie z nauczycielem próbują doprecyzować, jaka miara kąta jest wystarczająco mała, by móc mówić, że wartości te są w przybliżeniu równe. Odkrywają, że jest tak dla kątów mniejszych niż 9°.
  6. Uczniowie odkrywają, że zadanie spełnia to założenie, więc mogli skorzystać z tego przybliżenia.
  7. Odwołanie się do definicji. Sprawdzenie, który ułamek jest większy i która z funkcji (sinus, czy tangens) szybciej rośnie.
  8. Przy pomocy kalkulatora graficznego uczniowie obserwują jak wyglądają wykresy tych funkcji na przedziale od 0° do 9°. Obserwacje geometryczne potwierdzają wcześniejsze obserwacje algebraiczne uczniów.
  9. Uogólnienie problemu: czy podobna własność zachodzi dla innych funkcji trygonometrycznych?
  10. Podsumowanie zalet i wad tego rozwiązania. Nauczyciel pyta też uczniów, czy ich zdaniem takie rozwiązanie byłoby ocenione na maturze pozytywnie.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Dr Andrzej Walat, O konstrukcjonizmie i ośmiu zasadach skutecznego uczenia się według Seymoura Paperta, Meritum 4 (7), 2007.
  2. a b Janina Walkowiak, Praktyczne metody motywowania uczniów do pracy na lekcjach matematyki, nr publikacji: 728.
  3. Wykorzystanie wyników monitorowania z uwzględnieniem specyfiki II, III i IV etapu nauczania, Ośrodek Rozwoju Edukacji.
  4. a b c d Agnieszka Orzeszek, Wykorzystać niezaplanowane sytuacje, Nauczanie Matematyki 8/2007, s. 459–463.
  5. a b c Marek Legutko, O podręczniku matematyki, Dydaktyka Matematyki 23.
  6. a b c Marianna Ciosek, Anna Żeromska, Rozumowania w matematyce elementarnej, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie, Kraków 2013, s. 37–39.
  7. Anna Zofia Krygowska, O niebezpieczeństwie formalizmu w nauczaniu algebry w szkole, s. 43–55, [w:] J. Żabowski (red.), Materiały do studiowania dydaktyki matematyki, t. 1, Prace prof. dr Anny Zofii Krygowskiej, Wydawnictwo Naukowe NOVUM, Płock 2003; s. 54–55.
Na podstawie artykułu: "Błogosławiony błąd" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy