C*-algebra


C*-algebra w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha A {\displaystyle A} z dodatkowym działaniem inwolucji : A A {\displaystyle ^{*}\colon A\to A} ( A {\displaystyle A} jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

(C*) a a = a   a ( a A ) . {\displaystyle {}\quad \|a^{*}a\|=\|a\|\ \|a^{*}\|\quad (a\in A).}

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

  • Niech H {\displaystyle H} będzie przestrzenią Hilberta. Algebra B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na H {\displaystyle H} ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora T T {\displaystyle T\to T^{*}} jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
  • Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta H {\displaystyle H} tworzą domknięty ideał w algebrze B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} ). Algebra K ( H ) {\displaystyle K(H)} operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra K ( H ) {\displaystyle K(H)} nie ma jedynki.
  • Niech K {\displaystyle K} będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha C 0 ( K ) {\displaystyle C_{0}(K)} złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na K {\displaystyle K} i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując f ( z ) {\displaystyle f^{*}(z)} jako sprzężenie zespolone wartości f ( z ) {\displaystyle f(z)} dla każdego punktu z {\displaystyle z} przestrzeni K . {\displaystyle K.} Przestrzeń C 0 ( K ) {\displaystyle C_{0}(K)} z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń K {\displaystyle K} jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na K ; {\displaystyle K;} w tym przypadku używa się zwykle symbolu C ( K ) {\displaystyle C(K)} zamiast C 0 ( K ) {\displaystyle C_{0}(K)} ). Przestrzeń {\displaystyle \ell _{\infty }} (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń {\displaystyle \ell _{\infty }} jest izomorficzna z przestrzenią C ( β ω ) , {\displaystyle C(\beta \omega ),} gdzie \beta\omega oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c0 jest algebrą postaci C 0 ( K ) , {\displaystyle C_{0}(K),} gdzie K {\displaystyle K} jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
  • W przypadku gdy A {\displaystyle A} jest C*-algebrą oraz M n {\displaystyle M_{n}} oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia n , {\displaystyle n,} to algebrę macierzy M n ( A ) {\displaystyle M_{n}(A)} o współczynnikach z algebry A {\displaystyle A} można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).

Elementy normalne, samosprzężone i rzutowania | edytuj kod

Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie a {\displaystyle a} C*-algebry A {\displaystyle A} mówi się, że jest

  • normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. a a = a a ; {\displaystyle aa^{*}=a^{*}a;}
  • samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. a = a ; {\displaystyle a=a^{*};}
  • rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. a = a {\displaystyle a=a^{*}} oraz a 2 = a . {\displaystyle a^{2}=a.}

Klasyfikacja rzutów | edytuj kod

Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry A . {\displaystyle A.} Dwa rzuty p , q A {\displaystyle p,q\in A} równoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn. p q {\displaystyle p\sim q} ), gdy istnieje taka częściowa izometria v A , {\displaystyle v\in A,} że p = v v {\displaystyle p=v^{*}v} i q = v v . {\displaystyle q=vv^{*}.} Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut p {\displaystyle p} w C*-algebrze A {\displaystyle A} jest

  • nieskończony, gdy p q {\displaystyle p\sim q} dla pewnego właściwego rzutu q A {\displaystyle q\in A} spełniającego q p , {\displaystyle q\leqslant p,}
  • skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty p , {\displaystyle p,} dla których istnieją takie dwa rzuty p 1 , p 2 A , {\displaystyle p_{1},p_{2}\in A,} że p 1 p 2 = 0 {\displaystyle p_{1}p_{2}=0} (wzajemna ortogonalność), p 1 + p 2 p {\displaystyle p_{1}+p_{2}\leqslant p} oraz p p 1 p 2 . {\displaystyle p\sim p_{1}\sim p_{2}.}

Dla niezerowego rzutu p A {\displaystyle p\in A} następujące warunki są równoważne:

  1. p {\displaystyle p} jest nieskończony w sposób właściwy,
  2. p p p , {\displaystyle p\oplus p\leqslant p,}
  3. istnieją takie częściowe izometrie s 1 , s 2 A , {\displaystyle s_{1},s_{2}\in A,} że s 1 s 1 + s 2 s 2 = p {\displaystyle s_{1}^{*}s_{1}+s_{2}^{*}s_{2}=p} oraz s 1 s 1 + s 2 s 2 p , {\displaystyle s_{1}s_{1}^{*}+s_{2}s_{2}^{*}\leqslant p,}
  4. obraz p {\displaystyle p} w dowolnej algebrze ilorazowej A {\displaystyle A} poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na 2 ( N ) . {\displaystyle \ell _{2}(N).}

Elementy normalne i twierdzenie spektralne | edytuj kod

Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego a , {\displaystyle a,} tj. pozwala zdefiniować ściśle element f ( a ) , {\displaystyle f(a),} gdzie f {\displaystyle f} jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie a . {\displaystyle a.}

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci C 0 ( K ) , {\displaystyle C_{0}(K),} to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów K {\displaystyle K} (jeżeli przestrzeń K {\displaystyle K} jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

Własności spektralne | edytuj kod

  • Promień spektralny elementu normalnego jest równy jego normie.
  • W przypadku, gdy C*-algebra A {\displaystyle A} ma jedynkę, to widmo elementu odwracalnego w A {\displaystyle A} jest zawarte w okręgu jednostkowym.
  • Element a {\displaystyle a} C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • Jeżeli A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są C*-algebrami, A B {\displaystyle A\subseteq B} oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu a {\displaystyle a} algebry A {\displaystyle A} (względem algebry A {\displaystyle A} ) jest takie samo jak jego widmo względem algebry B . {\displaystyle B.} Innymi słowy, widmo a {\displaystyle a} nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Elementy unitarne, twierdzenie Russo-Dyego | edytuj kod

Element u {\displaystyle u} C*-algebry A {\displaystyle A} (z jedynką 1) jest unitarny, gdy u u = 1 {\displaystyle uu^{*}=1} (równoważnie, u u = 1 , {\displaystyle u^{*}u=1,} bądź u = u 1 {\displaystyle u^{*}=u^{-1}} ). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie macierzy czy operatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie[1].

Twierdzenie Russo-Dyego: Niech A {\displaystyle A} będzie C*-algebrą z jedynką oraz U {\displaystyle U} niech będzie zbiorem elementów unitarnych w A . {\displaystyle A.} Wówczas domknięta kula jednostkowa B A {\displaystyle B_{A}} jest równa domknięciu otoczki wypukłej zbioru U , {\displaystyle U,} tj. B A = conv ¯ U . {\displaystyle B_{A}={\overline {\operatorname {conv} }}U.}

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera[2].

Dowód. Niech x A {\displaystyle x\in A} oraz x < 1. {\displaystyle \|x\|<1.} Wystarczy uzasadnić, że x {\displaystyle x} należy do domknięcia zbioru conv U . {\displaystyle \operatorname {conv} U.} To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego u U {\displaystyle u\in U} element y = ( x + u ) / 2 {\displaystyle y=(x+u)/2} należy do domknięcia conv U . {\displaystyle \operatorname {conv} U.} Rzeczywiście, y = ( x u 1 + 1 ) / 2 u . {\displaystyle y=[(x\cdot u^{-1}+1)/2]\cdot u.} Ponieważ x u 1 = x < 1 , {\displaystyle \|x\cdot u^{-1}\|=\|x\|<1,} więc element ( x u 1 + 1 ) {\displaystyle (x\cdot u^{-1}+1)} jest odwracalny, skąd również y {\displaystyle y} jest elementem odwracalnym. Element y {\displaystyle y} jest więc postaci y = v | y | , {\displaystyle y=v|y|,} gdzie v {\displaystyle v} jest pewnym elementem unitarnym oraz ( y y ) 1 / 2 = | y | = ( w + w ) / 2 , {\displaystyle (y^{*}y)^{1/2}=|y|=(w+w^{*})/2,} gdzie w = | y | + i ( 1 | y | 2 ) 1 / 2 {\displaystyle w=|y|+i(1-|y|^{2})^{1/2}} jest również unitarne. Dowodzi, to że B A U U + U . {\displaystyle B_{A}-U\subseteq U+U.} Z powyższego wynika więc, że U {\displaystyle U} zawiera się w zbiorze 2 c l ( conv U ) x , {\displaystyle 2\cdot cl(\operatorname {conv} U)-x,} który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie conv U . {\displaystyle \operatorname {conv} U.} Równoważnie, ( x + c l ( conv U ) ) / 2 c l ( conv U ) . {\displaystyle (x+cl(\operatorname {conv} U))/2\subseteq cl(\operatorname {conv} U).} Ciąg ( x n ) c l ( conv U ) {\displaystyle (x_{n})\subseteq cl(\operatorname {conv} U)} zdefiniowany rekurencyjnie: x 0 {\displaystyle x_{0}} – dowolny element U {\displaystyle U} oraz x n + 1 = ( x + x n ) / 2 {\displaystyle x_{n+1}=(x+x_{n})/2} jest zbieżny do x . {\displaystyle x.} {\displaystyle \Box }

Dodatniość, stany | edytuj kod

O operatorze T {\displaystyle T} na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu x {\displaystyle x} z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

T x , x 0. {\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geqslant 0.}

Dodatniość operatora T {\displaystyle T} jest równoważna istnieniu takiego operatora S , {\displaystyle S,} że T = S S . {\displaystyle T=SS^{*}.} Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze A {\displaystyle A} jako takiego, który można przedstawić w postaci a = b b {\displaystyle a=bb^{*}} dla pewnego elementu b {\displaystyle b} C*-algebry A . {\displaystyle A.} Dla elementu a {\displaystyle a} C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

  1. a {\displaystyle a} jest elementem dodatnim;
  2. widmo elementu a {\displaystyle a} zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
  3. istnieje taki element samosprzężony h {\displaystyle h} w C*-algebrze A , {\displaystyle A,} że a = h 2 . {\displaystyle a=h^{2}.}

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem A + . {\displaystyle A_{+}.} Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek A + A + = { 0 } . {\displaystyle A_{+}\cap -A_{+}=\{0\}.} W stożku A + {\displaystyle A_{+}} definiuje się porządek częściowy warunkiem a b {\displaystyle a\leqslant b} wtedy i tylko wtedy, gdy element b a {\displaystyle b-a} jest dodatni.

Funkcjonał liniowy \varphi na C*-algebrze A {\displaystyle A} jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego a {\displaystyle a} z A {\displaystyle A} spełniony jest warunek φ ( a ) 0. {\displaystyle \varphi (a)\geqslant 0.} Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni φ {\displaystyle \varphi } na C*-algebrze A {\displaystyle A} spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów a , b {\displaystyle a,b} z A : {\displaystyle A{:}}

  1. φ ( a b ) = φ ( b a ) ¯ ; {\displaystyle \varphi (a^{*}b)={\overline {\varphi (b^{*}a)}};}
  2. | φ ( b a ) | 2 φ ( a a ) φ ( b b ) . {\displaystyle |\varphi (b^{*}a)|^{2}\leqslant \varphi (a^{*}a)\cdot \varphi (b^{*}b).}

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy’ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

Reprezentacje | edytuj kod

 Osobne artykuły: twierdzenie Gelfanda-Najmarkatwierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala.

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry A {\displaystyle A} nazywa się parę ( H , π ) , {\displaystyle (H,\pi ),} gdzie H {\displaystyle H} jest pewną przestrzenią Hilberta oraz π : A B ( H ) {\displaystyle \pi \colon A\to {\mathcal {B}}(H)} jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję; π ( a ) = ( π ( a ) ) {\displaystyle \pi (a^{*})=(\pi (a))^{*}} dla dowolnego a A {\displaystyle a\in A} ) o wartościach w *-algebrze B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na H {\displaystyle H} ( B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji ( H , π ) {\displaystyle (H,\pi )} C*-algebry A {\displaystyle A} mówi się, że jest

  • niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego a A , {\displaystyle a\in A,} ξ {\displaystyle \xi } jest takim elementem H , {\displaystyle H,} że π ( a ) ξ = 0 , {\displaystyle \pi (a)\xi =0,} to ξ {\displaystyle \xi } musi być wektorem zerowym;
  • cykliczna, jeżeli istnieje taki element ξ H , {\displaystyle \xi \in H,} że zbiór { π ( a ) ξ : a A } {\displaystyle \{\pi (a)\xi :a\in A\}} jest gęsty w H {\displaystyle H} (wektor ξ {\displaystyle \xi } nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji ( H , π ) ; {\displaystyle (H,\pi );} każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
  • wierna, gdy π {\displaystyle \pi } jest monomorfizmem, tj. jeżeli π ( a ) = 0 , {\displaystyle \pi (a)=0,} to a = 0 ; {\displaystyle a=0;}
  • nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów π ( A ) = { π ( a ) : a A } {\displaystyle \pi (A)=\{\pi (a)\colon a\in A\}} nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od { 0 } {\displaystyle \{0\}} i H {\displaystyle H} ) podprzestrzeni niezmienniczej.
Dla reprezentacji π : A B ( H ) {\displaystyle \pi \colon A\to {\mathcal {B}}(H)} następujące warunki są równoważne:
  • π {\displaystyle \pi } jest nieprzywiedlna,
  • π ( A ) =< m a t h > { c I : c {\displaystyle \pi (A)'=<math>\{cI\colon c} jest liczbą zespoloną } {\displaystyle {}\!\}}
  • π ( A ) = B ( H ) , {\displaystyle \pi (A)''={\mathcal {B}}(H),}
  • π ( A ) {\displaystyle \pi (A)} jest gęste w B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} w mocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazowe | edytuj kod

Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze A {\displaystyle A} istnieje taki ciąg uogólniony ( e α ) α {\displaystyle (e_{\alpha })_{\alpha }} złożony z elementów samosprzężonych ( e α = e α ) , {\displaystyle (e_{\alpha }^{*}=e_{\alpha }),} że dla dowolnego a A {\displaystyle a\in A} zachodzi

lim x   e α = lim e α   x = x . {\displaystyle \lim x\ e_{\alpha }=\lim e_{\alpha }\ x=x.}

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy A {\displaystyle A} ma jedność e , {\displaystyle e,} można przyjąć e α = e {\displaystyle e_{\alpha }=e} ). W przypadku, gdy J {\displaystyle J} jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze A , {\displaystyle A,} dla każdego elementu x J {\displaystyle x\in J} istnieje taki ciąg ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} elementów J {\displaystyle J} o następujących własnościach:

  1. widmo każdego elementu f n {\displaystyle f_{n}} zawarte jest w przedziale 0 , 1 ; {\displaystyle [0,1];}
  2. lim x   f n = x {\displaystyle \lim x\ f_{n}=x}

(gdy A {\displaystyle A} ma jedność, wystarczy zdefiniować f n , {\displaystyle f_{n},} używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem f n = n x 2 ( e + n x 2 ) 1 {\displaystyle f_{n}=nx^{2}(e+nx^{2})^{-1}} ).

Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli J {\displaystyle J} jest domkniętym ideałem w C*-algebrze A {\displaystyle A} oraz ( f n ) n {\displaystyle (f_{n})_{n}} oraz x J , {\displaystyle x\in J,} to x = lim x   f n . {\displaystyle x=\lim x\ f_{n}.} Z drugiej strony, x = lim f n   x , f n x J {\displaystyle x^{*}=\lim f_{n}\ x^{*},f_{n}x^{*}\in J} oraz J {\displaystyle J} jest domknięty, więc x J . {\displaystyle x^{*}\in J.}

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry A {\displaystyle A} przez domknięty ideał J {\displaystyle J} inwolucję wzorem: x = x ( x A ) . {\displaystyle [x]^{*}=[x^{*}](x\in A).} Tak zadana inwolucja w A / J {\displaystyle A/J} spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra A {\displaystyle A} jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny { 0 } {\displaystyle \{0\}} oraz ideał niewłaściwy A {\displaystyle A} ). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe B / J , {\displaystyle B/J,} gdzie B {\displaystyle B} jest pewną C*-algebrą oraz J {\displaystyle J} jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra B ( H ) / K ( H ) , {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)/\mathbf {K} (H),} gdzie H {\displaystyle H} jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a K ( H ) {\displaystyle \mathbf {K} (H)} oznacza ideał operatorów zwartych na H . {\displaystyle H.} Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. algebry Cuntza O n . {\displaystyle O_{n}.}

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne ideały lewostronne. Jeżeli φ {\displaystyle \varphi } jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze A , {\displaystyle A,} to zbiór

N φ = { a A : φ ( a a ) = 0 } {\displaystyle N_{\varphi }=\{a\in A\colon \varphi (a^{*}a)=0\}}

jest ideałem lewostronnym w A . {\displaystyle A.} W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Iloczyny tensorowe C*-algebr | edytuj kod

 Osobny artykuł: Iloczyny tensorowe C*-algebr.

Niech A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} będą C*-algebrami. Algebraiczny iloczyn tensorowy A B {\displaystyle A\otimes B} ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma {\displaystyle \|{\cdot }\|} w A B {\displaystyle A\otimes B} spełniająca warunek (C*) jest normą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

x y = x A y B ( x A , y B ) {\displaystyle \|x\otimes y\|=\|x\|_{A}\cdot \|y\|_{B}\;\;(x\in A,y\in B)} [3].

Projektywny iloczyn tensorowy π {\displaystyle \otimes _{\pi }} (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

Przypisy | edytuj kod

  1. B. Russo and H. A. Dye, A note on unitary operators in C*-algebras, „Duke Math. J.” 33 (1966), 413–416.
  2. L.T. Gardner, An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem, „Proc. Amer. Math. Soc”. 90 (1984), s. 171.
  3. B.J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, „J. London Math. Soc.” (2), 7 (1974), s. 595–596.

Bibliografia | edytuj kod

  • W. Arveson, An Invitation to C*-algebra, „Graduate Texts in Mathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.
  • J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
  • M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.
Na podstawie artykułu: "C*-algebra" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy