Całka


Całka w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 1 maj 2021. Od tego czasu wykonano 1 zmianę, która oczekuje na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. Najczęściej przez „całkę” rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną, choć istnieje wiele innych odmian całki. Ścisłe definicje można znaleźć w artykułach dotyczących poszczególnych całek.

W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Polskojęzyczna nazwa została wprowadzona przez Jana Śniadeckiego jako tłumaczenie integral[1] (wraz z „różniczką” jako tłumaczeniem dyferencjału[a]).

Spis treści

Intuicyjne określenie całki | edytuj kod

Całki można sobie wyobrazić jako sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości, takich jak np. wartość funkcji pomnożona przez nieskończenie małą różniczkę jej zmiennej: f ( x ) d x {\displaystyle f(x)dx} (co znajduje odzwierciedlenie w podejściu Riemanna, zob. dalej). Jest to określenie nieścisłe i nieformalne, choć używane w początkach rachunku całkowego przez G.W. Leibniza. Dziś ma ono znaczenie jedynie poglądowe i historyczne, natomiast poszczególne rodzaje całek są definiowane ściśle.

Rodzaje całek | edytuj kod

Całka oznaczona | edytuj kod

Całkę oznaczoną na przedziale a , b {\displaystyle a,b} z funkcji f , {\displaystyle f,} można interpretować jako różnicę pól powierzchni figur ograniczonych prostymi x = a , {\displaystyle x=a,} x = b , {\displaystyle x=b,} wykresem funkcji f {\displaystyle f} oraz osią x : {\displaystyle x{:}} części nad osią oraz pod nią.  Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Intuicyjnie całka oznaczona to pole powierzchni między wykresem funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} w pewnym przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.

Znane są następujące całki oznaczone:

Całka nieoznaczona | edytuj kod

 Osobny artykuł: Funkcja pierwotna.

Przez całkę nieoznaczoną (albo funkcję pierwotną) rozumie się pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji (zob. podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Całkę oznaczoną na przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} można też zdefiniować (tzw. całka Newtona-Leibniza) jako różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach b {\displaystyle b} oraz a . {\displaystyle a.} Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest często pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.

Uogólnieniem całki nieoznaczonej jest całka równania różniczkowego będąca rozwiązaniem równania różniczkowego: F ( x ) = f ( x ) , {\displaystyle F'(x)=f(x),} gdzie F ( x ) {\displaystyle F(x)} jest pierwotną, a f ( x ) {\displaystyle f(x)} oznacza całkowaną funkcję.

W drugiej połowie XX wieku wprowadzono nowe rodzaje całek nieoznaczonych, które umożliwiają obliczenia w obszarze analizy niearchimedesowej. Jedną z nich jest całka Volkenborna, określona przez granicę

Z p f ( x ) d x = lim n 1 p n x = 0 p n 1 f ( x ) . {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}

Pozostałe | edytuj kod

  • całka krzywoliniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna krzywa.
  • całka powierzchniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna powierzchnia, np. pewne koło, albo połowa sfery. Całka krzywoliniowa i całka powierzchniowa to szczególne przypadki całki na hiperpowierzchni. W nowoczesnej teorii całkowania, traktuje się je jako całki Lebesgue’a względem pewnych niezmienniczych miar, określonych na σ-ciałach związanych z daną hiperpowierzchnią.
  • całka podwójna – potocznie: całka z całki (z parametrem). Analogicznie całka potrójna, i ogólnie wielokrotna. Obecnie, całki n {\displaystyle n} -krotne traktuje się jako całki Lebesgue’a względem n {\displaystyle n} -wymiarowej miary Lebesgue’a.
  • całka stochastyczna – specjalny rodzaj całki używany w rachunku prawdopodobieństwa. Ma kilka wersji:

Niektóre przypadki całek oznaczonych i nieoznaczonych dla pewnych szczególnych funkcji mają własne nazwy:

Wyznaczanie całki | edytuj kod

Wyznaczanie całki oznaczonej przy pomocy kalkulatora naukowego

Całki niektórych funkcji nie istnieją, a niektórych innych funkcji nie dają się zapisać za pomocą standardowych funkcji matematycznych. Często całkowanie jest twórczym procesem nie opierającym się na żadnym ścisłym algorytmie. Co prawda, algorytm Rischa pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Ten algorytm jednak jest bardzo długi i skomplikowany, dlatego też rzadko stosowany; ponadto nie obejmuje on całek wyrażonych przez funkcje specjalne.

Zwykle w praktycznych problemach całkuje się numerycznie lub próbuje się sprowadzić całkę (m.in. za pomocą tzw. całkowania przez podstawienie, całkowania przez części, przekształceń algebraicznych lub trygonometrycznych) do znanych całek, których szuka się w tablicach.

Przykłady zapisu | edytuj kod

f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} – całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx} – całka oznaczona 0 f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{0}f(x)dx} – całka niewłaściwa E f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{E}f(x)dx} – całka Lebesgue’a D f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)dxdy} – całka podwójna po obszarze D R 2 {\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{2}} D f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)dxdydz} – całka potrójna po obszarze D R 3 {\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{3}} S f ( x , y , z ) d S {\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)dS} – całka powierzchniowa S f ( x , y ) d l {\displaystyle \int \limits _{S}f(x,y)dl} – całka krzywoliniowa nieskierowana po krzywej S {\displaystyle S} S P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y {\displaystyle \int \limits _{S}P(x,y)dx+Q(x,y)dy} – całka krzywoliniowa skierowana po krzywej S {\displaystyle S} C f ( z ) d z {\displaystyle \oint \limits _{C}f(z)dz} – zespolona całka krzywoliniowa skierowana po krzywej zamkniętej (np. konturze) C {\displaystyle C}

Symbol całki | edytuj kod

Symbol całki ∫ powstał jako wydłużona litera ſ („długie s”) lub mała litera esz. Gottfried Wilhelm von Leibniz oparł symbol całki na łacińskim słowie summa (suma), które pisał ſumma.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Opracowane przez Śniadeckiegi terminy dot. funkcji trygonometrycznych: „wstawa” (sinus) i „dostawa” (kosinus), czy „styczna” (tangens) i „dostyczna” (kotangens) nie zdobyły równie dużego uznania, czy popularności i są dzisiaj jedynie ciekawostką historyczną (zob. polskie nazwy funkcji trygonometrycznych).

Przypisy | edytuj kod

  1. Urodził się Jan Śniadecki. [dostęp 2018-01-26].

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (przekształcenie liniowe):
Na podstawie artykułu: "Całka" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy