Całka Daniella-Stone’a


Całka Daniella-Stone’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja | edytuj kod

Niech E {\displaystyle E} będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał μ E {\displaystyle \mu \in E^{\star }} nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej E f 0 {\displaystyle E\ni f\geqslant 0} zachodzi μ ( f ) 0. {\displaystyle \mu (f)\geqslant 0.}

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji E {\displaystyle E} nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny E {\displaystyle E} nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast μ ( f ) {\displaystyle \mu (f)} całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

f d μ , X f ( x ) d μ ( x ) , ( D ) f d μ . {\displaystyle \int fd\mu ,\;\int \limits _{X}f(x)d\mu (x),\;\operatorname {(D)} \int fd\mu .}

Przykłady | edytuj kod

  • Niech X {\displaystyle X} będzie przedziałem liczbowym postaci a , b ; {\displaystyle [a,b];} E=C([a,b]), tzn. E {\displaystyle E} jest przestrzenią funkcji ciągłych na a , b . {\displaystyle [a,b].} W przypadku, gdy
μ ( f ) := a , b f ( x ) d x , {\displaystyle \mu (f):=\int \limits _{[a,b]}f(x)dx,} to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.
  • Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech E = C 0 ( X ) {\displaystyle E=C_{0}(X)} oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na X . {\displaystyle X.} Jeśli μ {\displaystyle \mu } jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego μ {\displaystyle \mu } jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej X . {\displaystyle X.}
  • W poprzednim przykładzie przyjmijmy X = N . {\displaystyle X=\mathbb {N} .} Niech C 0 ( N ) {\displaystyle C_{0}(\mathbb {N} )} będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla f C 0 ( N ) {\displaystyle f\in C_{0}(\mathbb {N} )} można przyjąć
μ ( f ) := n = 1 f ( n ) . {\displaystyle \mu (f):=\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}
  • Niech X {\displaystyle X} będzie zbiorem niepustym oraz E {\displaystyle E} niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na X . {\displaystyle X.} Ponadto niech dany będzie punkt x 0 {\displaystyle x_{0}} ze zbioru X . {\displaystyle X.} Dla f E {\displaystyle f\in E} można zdefiniować μ ( f ) := f ( x 0 ) ; {\displaystyle \mu (f):=f(x_{0});} inne oznaczenie (por. delta Diraca), to
μ ( f ) = δ x 0 ( f ) . {\displaystyle \mu (f)=\delta _{x_{0}}(f).}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.
Na podstawie artykułu: "Całka Daniella-Stone’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy