Całka niewłaściwa


Całka niewłaściwa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe π / 2 {\displaystyle \pi /2}

Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

Spis treści

Ustalenia wstępne | edytuj kod

Całki na przedziale nieograniczonym | edytuj kod

Niech dla każdego A > a {\displaystyle A>a} funkcja

f : a , ) R {\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }

jest całkowalna w przedziale a , A . {\displaystyle [a,A].} Granicę

a f ( x ) d x = lim A a A f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}

nazywa się całką niewłaściwą funkcji f {\displaystyle f} w granicach od a {\displaystyle a} do . {\displaystyle \infty .} Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od {\displaystyle -\infty } do a {\displaystyle a} i od {\displaystyle -\infty } do : {\displaystyle \infty {:}}

a f ( x ) d x = lim A A a f ( x ) d x , {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx=\lim _{A\to -\infty }\int \limits _{A}^{a}f(x)dx,} f ( x ) d x = lim A ,   B A B f ( x ) d x .     ( ) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to -\infty ,\ B\to \infty }\int \limits _{A}^{B}f(x)dx.\quad \ \ (*)}

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

c f ( x ) d x + c f ( x ) d x ,     ( ) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx,\quad \ \ (**)}

gdzie c {\displaystyle c} jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia ( ) {\displaystyle (**)} powoduje istnienie granicy z ( ) , {\displaystyle (*),} jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę ( ) {\displaystyle (*)} można zdefiniować przez wyrażenie ( ) . {\displaystyle (**).}

Całki z funkcji nieograniczonej | edytuj kod

Niech

f : a , b ) R {\displaystyle f\colon [a,b)\to \mathbb {R} }

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale a , b η , {\displaystyle [a,b-\eta ],} gdzie 0 < η < b a , {\displaystyle 0<\eta <b-a,} oraz jest nieograniczona w każdym przedziale b η , b ) {\displaystyle [b-\eta ,b)} na lewo od punktu b {\displaystyle b} (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji f {\displaystyle f} ). Granicę

a b f ( x ) d x = lim η 0 a b η f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x=\lim _{\eta \to 0}\int \limits _{a}^{b-\eta }f(x){\mbox{d}}x}

nazywa się całką niewłaściwą funkcji f {\displaystyle f} w przedziale a , b . {\displaystyle [a,b].} Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt a {\displaystyle a} jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty a , b {\displaystyle a,b} są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki f ( x ) d x , {\displaystyle \textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x,} tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

a b f ( x ) d x = a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x ,       a < c < b . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x){\mbox{d}}x,\ \ \ a<c<b.}

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki | edytuj kod

Niech f {\displaystyle f} będzie funkcją określoną na pewnym przedziale ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

I = a b f ( x ) d x {\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x}

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

a b | f ( x ) | d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\mbox{d}}x}

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka I , {\displaystyle I,} ale nie istnieje całka z modułu, całkę I {\displaystyle I} nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

0 sin x x d x = π 2 {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\mbox{d}}x={\frac {\pi }{2}}}

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

0 | sin x | x d x . {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}{\mbox{d}}x.}

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych | edytuj kod

Badanie zbieżności szeregu | edytuj kod

Całka niewłaściwa a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x} istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} punktów przedziału a , b , {\displaystyle [a,b],} gdzie

a = x 0 < x 1 < < x n < < b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}<\ldots <b}

oraz

lim n x n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=b}

szereg liczbowy

n = 1 x n 1 x n f ( x ) d x {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\,\int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n}}f(x){\mbox{d}}x}

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze | edytuj kod

Jeżeli funkcje

f , g : a , ) R {\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }

są nieujemne oraz istnieje taka liczba A a , {\displaystyle A\geqslant a,} że dla każdego x A {\displaystyle x\geqslant A} zachodzi nierówność f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle f(x)\leqslant g(x),} oraz całka a g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x} jest zbieżna, to również całka a f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x} jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczne | edytuj kod

Jeżeli istnieje granica

lim x f ( x ) g ( x ) = K , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K,}

to

  • gdy K < , {\displaystyle K<\infty ,} ze zbieżności całki a g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x} wynika zbieżność całki a f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x} (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
  • gdy K > 0 , {\displaystyle K>0,} z rozbieżności całki a g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x} wynika rozbieżność całki a f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x} (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy 0 < K < {\displaystyle 0<K<\infty } obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela | edytuj kod

Załóżmy, że funkcje f , g : a , ) R {\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} } są takie, że

1) a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx} jest zbieżna; 2) funkcja g ( x ) {\displaystyle g(x)} jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

a f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta | edytuj kod

 Osobny artykuł: kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych.

Załóżmy, że funkcja f : a , ) R {\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} } jest całkowalna w każdym przedziale a , A {\displaystyle [a,A]} oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna K , {\displaystyle K,} że dla każdego A {\displaystyle A} | a A f ( x ) d x | K ; {\displaystyle {\Bigg |}\int \limits _{a}^{A}f(x)dx{\Bigg |}\leqslant K;} 2) funkcja g : a , ) R {\displaystyle g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} } jest zbieżna monotonicznie do 0 {\displaystyle 0} przy x . {\displaystyle x\to \infty .}

Wówczas całka

a f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej | edytuj kod

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całki z funkcji wymiernych | edytuj kod

Wszystkie funkcje wymierne P ( z ) Q ( z ) , {\displaystyle {\tfrac {P(z)}{Q(z)}},} których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania Γ {\displaystyle \Gamma } znajdą się bieguny z 1 , z 2 , , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}} funkcji f {\displaystyle f} i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

Γ f ( z ) d z = 2 π i k = 1 n r e s z k f ( z ) , {\displaystyle \oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathrm {res} _{z_{k}}f(z),}

gdzie Γ {\displaystyle \Gamma } to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

lim R + R + R f ( z ) d z {\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int \limits _{-R}^{+R}f(z)\,dz}

możemy rozpatrywać jako sumę całek od R {\displaystyle -R} do + R {\displaystyle +R} wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu R {\displaystyle R} przechodzącym przez punkty + R , {\displaystyle +R,} R i , {\displaystyle Ri,} R {\displaystyle -R} i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

+ f ( x ) d x = 2 π i k = 1 N r e s z k f ( z ) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}f(z)}

przy założeniu, że wszystkie punkty z 1 , z 2 , , z N {\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{N}} znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całki z funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymi | edytuj kod

Całki z funkcji postaci f ( x ) sin a x {\displaystyle f(x)\sin ax} bądź f ( x ) cos a x {\displaystyle f(x)\cos ax} liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

+ f ( x ) sin a x d x = Γ e a z i f ( z ) d z = 2 π i k = 1 N r e s z k e a z i f ( z ) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\sin ax\,dx=\oint \limits _{\Gamma }e^{azi}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}e^{azi}f(z)}

bądź

+ f ( x ) cos a x d x = Γ e a z i f ( z ) d z = 2 π i k = 1 N r e s z k e a z i f ( z ) . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\cos ax\,dx=\oint \limits _{\Gamma }e^{azi}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}e^{azi}f(z).}

Przykłady | edytuj kod

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

1 + 1 x 2 d x = lim t 1 t 1 x 2 d x . {\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx.}

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

lim t 1 t 1 x 2 d x = lim t ( 1 x ) | 1 t = lim t ( 1 t ( 1 1 ) ) = 1 , {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{t\to \infty }\left(-{\frac {1}{x}}\right){\bigg |}_{1}^{t}=\lim _{t\to \infty }\left(-{\frac {1}{t}}-\left(-{\frac {1}{1}}\right)\right)=1,}

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

0 1 1 x d x = lim t 0 + t 1 1 x d x . {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{t\to 0^{+}}\int \limits _{t}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx.}

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

lim t 0 + t 1 1 x d x = lim t 0 + ( 2 x ) | t 1 = lim t 0 + ( 2 1 2 t ) = 2 , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\int \limits _{t}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{t\to 0^{+}}\left(2{\sqrt {x}}\right){\bigg |}_{t}^{1}=\lim _{t\to 0^{+}}\left(2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {t}}\right)=2,}

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa | edytuj kod

  •   e x 2 2 σ 2 d x = 2 π σ {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }~e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\mbox{d}}x={\sqrt {2\pi }}\sigma } – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
  • 0   x α e x d x = Γ ( α + 1 ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }~x^{\alpha }e^{-x}{\mbox{d}}x=\Gamma (\alpha +1)} – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
  • 0   x α d x e x 1 = Γ ( α + 1 ) ζ ( α + 1 ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }~{\frac {x^{\alpha }{\mbox{d}}x}{e^{x}-1}}=\Gamma (\alpha +1)\zeta (\alpha +1)} – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
  • 0   x α d x e x + 1 = Γ ( α + 1 ) η ( α + 1 ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }~{\frac {x^{\alpha }{\mbox{d}}x}{e^{x}+1}}=\Gamma (\alpha +1)\eta (\alpha +1)} – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

α {\displaystyle \alpha } – dowolna dodatnia liczba rzeczywista, Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} funkcja gamma Eulera, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} funkcja zeta Riemanna, η ( z ) {\displaystyle \eta (z)} funkcja eta Dirichleta.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Całka niewłaściwa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy