Całka splotowa


Całka splotowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całka splotowa – obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście mająca cechę jednoznaczności dla danego układu regulacji (członu, elementu)[1].

Spis treści

Wstęp | edytuj kod

Opis układu sterowania całką splotową wynika z właściwości przekształcenia Laplace’a. Tak zwany iloczyn splotowy, czyli całka splotowa

y ( t ) = u ( τ ) g ( t τ ) d τ = g ( τ ) u ( t τ ) d τ {\displaystyle y(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }u(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\tau )u(t-\tau )\,d\tau }

jest w dziedzinie czasu odpowiednikiem iloczynu transformat:

U ( s ) G ( s ) = Y ( s ) {\displaystyle U(s)G(s)=Y(s)}

Zmienna τ {\displaystyle \tau } jest zmienną całkowania. Podobnie jak w przypadku opisu w wykorzystaniem transmitancji wymagane jest przeprowadzenie pewnej operacji nad funkcją g ( t ) , {\displaystyle g(t),} która charakteryzuje układ i funkcją u ( t ) , {\displaystyle u(t),} która reprezentuje wymuszenie; operacja ta ma miejsce całkowicie w dziedzinie czasu.

W praktyce całkę splotową oblicza się w granicach skończonych, gdyż wymuszenie u ( t ) {\displaystyle u(t)} ma sens tylko dla t 0 , {\displaystyle t\geqslant 0,} zaś przy u ( t ) = 0 {\displaystyle u(t)=0} dla t < 0 {\displaystyle t<0} także charakterystyka impulsowa g ( t ) {\displaystyle g(t)} jest równa 0 {\displaystyle 0} dla t < 0 , {\displaystyle t<0,} jeśli system jest przyczynowy (tzn. nie wykazuje reakcji nim nie nastąpi jego pobudzenie).

Tak więc u ( τ ) = 0 {\displaystyle u(\tau )=0} dla τ < 0 {\displaystyle \tau <0} oraz g ( t τ ) = 0 {\displaystyle g(t-\tau )=0} dla τ > t , {\displaystyle \tau >t,} a stąd praktyczne granice całkowania:

y ( t ) = 0 t u ( τ ) g ( t τ ) d τ = 0 t g ( τ ) u ( t τ ) d τ . {\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}u(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int \limits _{0}^{t}g(\tau )u(t-\tau )\,d\tau .}

Zestawienie opisów układu w różnych przypadkach | edytuj kod

Istnieją ogólne zewnętrzne opisy układów regulacji. W przypadkach układów niestacjonarnych opis jest znany jako opis za pomocą splotu. Niech: y {\displaystyle y} będzie wyjściem układu, h {\displaystyle h} – odpowiedzią układu, x {\displaystyle x} – wejściem układu, wówczas:

Uogólnienie na układy wielowymiarowe | edytuj kod

Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których t 0 = C , {\displaystyle t_{0}=\mathbf {C} ,} a równanie wyjścia dane jest następująco: y ( t ) = C x ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)} odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

y δ ( t ) = 0 t K ( t τ ) u ( τ ) d τ , {\displaystyle \mathbf {y} _{\delta }(t)=\int _{0}^{t}{\mathbf {K} (t-\tau )\mathbf {u} (\tau )\,d\tau },}

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych

K ( t ) = C e A t B . {\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {C} e^{\mathbf {A} t}\mathbf {B} .}

Powyższy wzór na wymuszenie układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany jako:

y = K u . {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {K} \mathbf {u} .}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Andrzej Markowski: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1979, s. 28–29. ISBN 83-204-0110-0.
Na podstawie artykułu: "Całka splotowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy