Całkowanie przez części


Całkowanie przez części w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

f ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)g(x)dx.}

Jeśli potrafimy znaleźć takie h ( x ) , {\displaystyle h(x),} że h ( x ) = f ( x ) , {\displaystyle h'(x)=f(x),} to możemy przekształcić tę całkę do postaci:

f ( x ) g ( x ) d x = h ( x ) g ( x ) d x = h ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)g(x)dx=\int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

a b h ( x ) g ( x ) d x = h ( x ) g ( x ) a b a b h ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}h'(x)g(x)dx=\left[h(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}h(x)g'(x)dx.}

Często stosuje się zapis skrócony wzoru:

u d v = u v v d u . {\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.}

Dowód | edytuj kod

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

( h ( x ) g ( x ) ) = h ( x ) g ( x ) + h ( x ) g ( x ) , {\displaystyle \left(h(x)g(x)\right)'=h(x)g'(x)+h'(x)g(x),} h ( x ) g ( x ) = ( h ( x ) g ( x ) ) h ( x ) g ( x ) , {\displaystyle h'(x)g(x)=\left(h(x)g(x)\right)'-h(x)g'(x),} h ( x ) g ( x ) d x = h ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}

Całki pętlące się (zwrotne) | edytuj kod

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

e x cos ( x ) d x = e x cos ( x ) + e x sin ( x ) d x = e x cos ( x ) + e x sin ( x ) e x cos ( x ) d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx.}

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

2 e x cos ( x ) d x = e x ( cos ( x ) + sin ( x ) ) + C , {\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C,} e x cos ( x ) d x = 1 2 e x ( cos ( x ) + sin ( x ) ) + C . {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx={\tfrac {1}{2}}e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C'.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Całkowanie przez części" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy