Całkowy sinus hiperboliczny


Całkowy sinus hiperboliczny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całkowy sinus hiperbolicznyfunkcja specjalna zdefiniowana jako:

s h i ( x ) = d f 0 x sinh ( t ) t d t {\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {{\sinh }\,(t)}{t}}\,dt}

gdzie sinh ( x ) {\displaystyle {\sinh }(x)} jest sinusem hiperbolicznym. Funkcja podcałkowa ma dla t = 0 {\displaystyle t=0} ma punkt osobliwy i za jej wartość przyjmuje się granicę lim t 0 sinh ( t ) t . {\displaystyle \lim \limits _{t\to 0}{\tfrac {{\sinh }\,(t)}{t}}.}

Niektóre własności i zależności:

  • s h i ( x ) = s h i ( x ) {\displaystyle \mathrm {shi} \,(-x)=-\mathrm {shi} \,(x)}
  • i s h i ( x ) = S i ( i x ) {\displaystyle i\cdot \mathrm {shi} \,(x)=\mathrm {Si} \,(ix)}
  • s h i ( x ) = x 1 1 ! + x 3 3 3 ! + x 5 5 5 ! + x 7 7 7 ! + = n = 0 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \mathrm {shi} (x)={\tfrac {x}{1\cdot 1!}}+{\tfrac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5\cdot 5!}}+{\tfrac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}}
  • s h i ( x ) = E i ( x ) E i ( x ) 2 {\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)={\frac {\mathrm {Ei} (x)-\mathrm {Ei} (-x)}{2}}}

gdzie E i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ei} \,(x)} jest funkcją całkowo-wykładniczą, zaś S i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Si} \,(x)} jest sinusem całkowym.

Całkowy sinus hiperboliczny występuje w rozwiązaniach równań różniczkowych opisujących niektóre zjawiska w ośrodkach ciągłych (np. przepływ cieczy nienewtonowskich w rurach i szczelinach).

Na podstawie artykułu: "Całkowy sinus hiperboliczny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy