Ciąg Cauchy'ego


Ciąg Cauchy’ego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Ciąg Cauchy'ego) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykres ciągu Cauchy’ego (xn) oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Jeżeli przestrzeń zawierająca ciąg jest zupełna, to jego granica istnieje. Ciąg, który nie jest Cauchy’ego. Elementy ciągu nie zbliżają się do siebie wraz z jego postępem.

Ciąg Cauchy’egociąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych), którego dwa dowolne elementy, jeśli mają dostatecznie wysokie indeksy, są dowolnie blisko siebie. O ciągu, który jest ciągiem Cauchy’ego, mówi się też, że spełnia warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

Ponieważ definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia odległości (metryki), to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się np. w algorytmach by wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie, iż kolejne wyrazy iteracji tworzą ciąg Cauchy’ego.

Ponieważ każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych, a taki ciąg okazuje się ciągiem Cauchy’ego, więc ciągi takie posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Spis treści

Definicje formalne | edytuj kod

Niech ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} będzie ciągiem liczbowym, tj. a i R . {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} .} Ciąg ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli

ε R , ε > 0 N N m , n > N | a m a n | < ε . {\displaystyle \forall _{\varepsilon \in \mathbb {R} ,\varepsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{m,n>N}\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon .}

Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą ε {\displaystyle \varepsilon } można, ustalić odpowiednio duży wskaźnik N {\displaystyle N} taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż ε . {\displaystyle \varepsilon .}

Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.

Niech ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} będzie przestrzenią metryczną i niech ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli

ε > 0 N N m , n > N d ( a m , a n ) < ε . {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{m,n>N}\;d(a_{m},a_{n})<\varepsilon .}

Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru.

Niech ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i A k = { a k , a k + 1 , a k + 2 , } . {\displaystyle A_{k}=\{a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots \}.} Ciąg ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} jest ciągiem Cauchy’ego, gdy

lim k diam A k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\;\operatorname {diam} \;A_{k}=0.}

Przykłady | edytuj kod

  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym a n = 1 n {\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}} jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego ε {\displaystyle \varepsilon } wystarczy przyjąć N > 2 ε . {\displaystyle N>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.} Wówczas dla p , q > N {\displaystyle p,q>N} zachodzi: | 1 p 1 q | 1 p + 1 q 2 min ( p , q ) < 2 N < ε . {\displaystyle \left|{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}\right|\leqslant {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\leqslant {\frac {2}{{\text{min}}(p,q)}}<{\frac {2}{N}}<\varepsilon .}
  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym a n = n {\displaystyle a_{n}=n} nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np. ε = 1 2 , {\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}},} wówczas dla dowolnego N {\displaystyle N} dwa wyrazy ciągu a N + 1 , a N + 2 {\displaystyle a_{N+1},a_{N+2}} spełniają | a N + 1 a N + 2 | = 1 > ε {\displaystyle |a_{N+1}-a_{N+2}|=1>\varepsilon }

Własności | edytuj kod

(1) W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:

  • jeżeli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy’ego (ale niekoniecznie odwrotnie)
  • każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
  • ciąg Cauchy’ego ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} mający punkt skupienia x 0 {\displaystyle x_{0}} (zawierający podciąg zbieżny do x 0 {\displaystyle x_{0}} ) jest zbieżny do x 0 {\displaystyle x_{0}} [1].

(2) W przestrzeniach euklidesowych R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} (w szczególności w przestrzeni liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } ) dodatkowo zachodzą własności:

  • ciąg punktów x n = ( x n , 1 , , x n , k ) {\displaystyle \mathbf {x} _{n}=(x_{n,1},\dots ,x_{n,k})} jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów x n , 1 , , x n , k {\displaystyle x_{n,1},\dots ,x_{n,k}} jest ciągiem Cauchy’ego;
  • ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

Ciąg podstawowy | edytuj kod

Df. Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem podstawowym.

Tw. Każdy ciąg liczb wymiernych zbieżny do liczby wymiernej (w szczególności ciąg stały) jest ciągiem podstawowym.

Np.

3 n + 1 n + 2 3 , ( 1 ) n 1 2 n 0. {\displaystyle {\frac {3n+1}{n+2}}\to 3,\;\;\;(-1)^{n}{\frac {1}{2^{n}}}\to 0.}

Ciągi podstawowe niekoniecznie są zbieżne do liczby wymiernej a Q . {\displaystyle a\in \mathbb {Q} .} Np. wszystkie ciągi monotonicznie rosnące (malejące) i ograniczone z góry (z dołu)

a n = 10 n 1 π 10 n 1 {\displaystyle a_{n}={\frac {\lfloor 10^{n-1}\cdot \pi \rfloor }{10^{n-1}}}} gdzie x {\displaystyle \lfloor x\rfloor } oznacza część całkowitą liczby x {\displaystyle x}

Jest to ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych z dołu liczby π ( a n ) = ( 3 ;   3 , 1 ;   3 , 14 ;   3,141 ;   3,141 5 ;   3,141 59 ;   ) {\displaystyle (a_{n})=(3;\ 3{,}1;\ 3{,}14;\ 3{,}141;\ 3{,}1415;\ 3{,}14159;\ \dots )} i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.

Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.

Ciągi podstawowe mają zastosowanie w konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.

Zupełność | edytuj kod

 Osobne artykuły: przestrzeń zupełna, przestrzeń Banacha, przestrzeń Hilbertaprzestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna).

W szczególności przestrzeń R {\displaystyle \mathbb {R} } (z wartością bezwzględną) i przestrzeń R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} (z metryką euklidesową) są zupełne.

Inne postacie | edytuj kod

Szeregi | edytuj kod

Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.

Niech ( E , ) {\displaystyle (E,\|\cdot \|)} będzie przestrzenią Banacha, a ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} ciągiem jej elementów. Szereg   a i {\displaystyle \sum ~a_{i}} spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli

ε > 0 N N m , n > N i = n + 1 m   a i < ε . {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{m,n>N}\;\left\|\sum _{i=n+1}^{m}~a_{i}\right\|<\varepsilon .}

Szereg   a i {\displaystyle \sum ~a_{i}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla ( R k , | | ) . {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {R} ^{k},|\cdot |{\bigr )}.} Przyjęcie w powyższym warunku m = n + 1 {\displaystyle m=n+1} daje definicję granicy ciągu ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).

Przestrzenie liniowo-topologiczne | edytuj kod

 Osobny artykuł: przestrzeń liniowo-topologiczna.

W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} punktów przestrzeni liniowo-topologicznej X {\displaystyle X} nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera U X , {\displaystyle U\subseteq X,} istnieje taka liczba naturalna N , {\displaystyle N,} że dla m , n > N {\displaystyle m,n>N} jest

x n x m U . {\displaystyle \mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{m}\in U.}

W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni X {\displaystyle X} jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę d , {\displaystyle d,} to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

Funkcje mierzalne | edytuj kod

 Osobny artykuł: warunek Cauchy’ego według miary.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Niech B ( x 0 , r ) {\displaystyle B(x_{0},r)} będzie pewną kulą w przestrzeni metrycznej ( X , d ) ; {\displaystyle (X,d);} z warunku Cauchy’ego dla ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} wynika istnienie N , {\displaystyle N,} dla którego d ( x n , x m ) < r 2 {\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {r}{2}}} dla m , n > N , {\displaystyle m,n>N,} a ponieważ x 0 {\displaystyle x_{0}} jest punktem skupienia ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} to można wybrać m N , {\displaystyle m\geqslant N,} dla którego d ( x 0 , x m ) < r 2 , {\displaystyle d(x_{0},x_{m})<{\frac {r}{2}},} skąd x n B ( x 0 , r ) {\displaystyle x_{n}\in B(x_{0},r)} dla n N . {\displaystyle n\geqslant N.}

Bibliografia | edytuj kod

  • Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.
  • Leja Franciszek, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
  • Maurin Krzysztof, Analiza. Część I. Elementy, PWN, Warszawa 1976.
  • Musielak Helena, Musielak Julian, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2000.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
Na podstawie artykułu: "Ciąg Cauchy'ego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy