Cyrkulacja


Cyrkulacja w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Cyrkulacja (krążenie) – operator wprowadzony początkowo w dynamice płynów następnie uogólniony na wszystkie pola wektorowe, dla danego pola definiuje wielkość skalarną. Cyrkulacja oznaczana jest zwyczajowo przez Γ . {\displaystyle \mathbf {\Gamma } .}

Dla przepływającego płynu z prędkością V {\displaystyle \mathbf {V} } wzdłuż zamkniętej krzywej C {\displaystyle C} cyrkulacja określona jest wzorem:

Γ = C V d s , {\displaystyle \Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {ds} ,}

gdzie d s {\displaystyle \mathbf {ds} } oznacza wektor styczny do krzywej całkowania.

Niezerowa wartość cyrkulacji oznacza, że w analizowanym obszarze występuje zawirowanie płynu, przy wartości dodatniej w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem całkowania.

Według twierdzenia Kutty-Żukowskiego w przepływie laminarnym cyrkulacja płynu (powietrza) wokół ciała poruszającego się w nim jest jednakowa dla każdej krzywej całkowania, a wytwarzana siła nośna jest proporcjonalna do cyrkulacji.

Definicja uogólniona | edytuj kod

Cyrkulacja dla danego pola wektorowego F ¯ ( x , y , z ) {\displaystyle {\overline {F}}(x,y,z)} wzdłuż krzywej L określa wzór:

Γ = L F ¯ d l ¯ , {\displaystyle \Gamma =\oint \limits _{L}{\overline {F}}\cdot {\overline {dl}},}

gdzie d l ¯ {\displaystyle {\overline {dl}}} jest infinitezymalnym wektorem stycznym do krzywej w danym punkcie.

Jeżeli krzywa L ma parametryzację φ ¯ ( t ) {\displaystyle {\overline {\varphi }}(t)} w przedziale t a , b , {\displaystyle t\in [a,b],} to powyższy wzór można zapisać jako:

Γ = L F ¯ d l ¯ = a b ( F ¯ ( t ) d φ ¯ d t ) d t . {\displaystyle \Gamma =\oint \limits _{L}{\overline {F}}\cdot {\overline {dl}}=\int \limits _{a}^{b}\left({\overline {F}}(t)\cdot {\frac {d{\overline {\varphi }}}{dt}}\right)dt.}

Związek cyrkulacji z rotacją | edytuj kod

Twierdzenie Stokesa wiąże całkę po krzywej zamkniętej ze strumieniem rotacji przenikającym przez powierzchnię zamkniętą tą krzywą.

Γ = C V d s = S ( × V ) d S . {\displaystyle \Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {ds} =\int \!\!\!\int \limits _{S}(\nabla \times \mathbf {V} )\cdot \mathbf {dS} .}

Ze związku powyższego wynika:

n ^ r o t F ¯ = lim S 0 Γ S = lim S 0 L F ¯ d l ¯ S . {\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\overline {rotF}}=\lim _{S\to 0}{\frac {\Gamma }{S}}=\lim _{S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}{\overline {F}}\cdot {\overline {dl}}}{S}}.}

Równanie to oznacza, że dla danej krzywej L ograniczającej pewną powierzchnię S, która jest uznana za płaską, n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} – jest wersorem (wektor o długości 1) prostopadłym (normalnym) do tej powierzchni, iloczyn skalarny rotacji i wersora normalnego w wybranym punkcie pola jest równy granicy do której dąży iloraz cyrkulacji po krzywej zamkniętej otaczającej jeden raz wybrany punkt przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą.

Na podstawie artykułu: "Cyrkulacja" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy