Cząstka w studni potencjału


Cząstka w studni potencjału w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości L {\displaystyle L} bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla x < 0 {\displaystyle x<0} i x > L {\displaystyle x>L} i zerowy dla 0 < x < L . {\displaystyle 0<x<L.}

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości L {\displaystyle L} dla niektórych wartości własnych energii m . {\displaystyle m.}

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

ψ m ( x ) = 2 L sin ( m π x L ) . {\displaystyle \psi _{m}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {m\pi x}{L}}\right)}.}

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne m , {\displaystyle m,} a ponadto prawdopodobieństwo | ψ m ( x ) | 2 {\displaystyle |\psi _{m}(x)|^{2}} znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną x {\displaystyle x} ) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty x = 0 {\displaystyle x=0} i x = L {\displaystyle x=L} ). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału | edytuj kod

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

2 2 m d 2 ψ d x 2 + V ( x ) ψ = E ψ , ( 1 ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi ,\quad (1)}

gdzie potencjał V(x) jest równy:

V ( x ) = { V 0 x ( , a obszar I 0 x ( a , a ) obszar II V 0 x a , ) obszar III {\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&&x\in (-\infty ,-a]&{\text{obszar I}}\\0&&x\in (-a,a)&{\text{obszar II}}\\V_{0}&&x\in [a,\infty )&{\text{obszar III}}\end{cases}}}

Potencjał V ( x ) {\displaystyle V(x)} jest symetryczny względem inwersji (x → -x (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

2 2 m d 2 ψ d x 2 = E ψ . ( 2 ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .\quad (2)}

Obszary I i III są klasycznie zabronione ( E < V 0 ) , {\displaystyle (E<V_{0}),} ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

2 2 m d 2 ψ d x 2 = ( E V 0 ) ψ . ( 3 ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi .\quad (3)}

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze ( x < 0 ) {\displaystyle (x<0)}

ψ = A e κ x , {\displaystyle \psi =Ae^{\kappa x},}

a w III ( x > L ) {\displaystyle (x>L)}

ψ = D e κ x {\displaystyle \psi =De^{-\kappa x}}

z

2 κ 2 2 m = ( V 0 E ) . ( 4 ) {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=(V_{0}-E).\quad (4)}

W obszarze II ma charakter oscylujący

ψ = ( B sin ( k x ) + C cos ( k x ) ) {\displaystyle \psi =(B\sin(kx)+C\cos(kx))}

z

E = π 2 2 k 2 2 m L 2 . ( 5 ) {\displaystyle E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}k^{2}}{2mL^{2}}}.\quad (5)}

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla x = a {\displaystyle x=-a} i x = a . {\displaystyle x=a.} Warunki te dają równanie liniowe

( e a κ cos ( k a ) sin ( k a ) 0 κ e a κ k sin ( k a ) k cos ( k a ) 0 0 cos ( a k ) sin ( k a ) e a κ 0 k sin ( k a ) k cos ( k a ) κ e a κ ) ( A B C D ) = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-a\kappa }&-\cos(ka)&\sin(ka)&0\\\kappa e^{-a\kappa }&-k\sin(ka)&-k\cos(ka)&0\\0&\cos(ak)&\sin(ka)&-e^{-a\kappa }\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\kappa e^{-a\kappa }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}=0}

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

κ = k ctg ( k a ) , {\displaystyle \kappa =-k\operatorname {ctg} (ka),} κ = k tg ( k a ) . {\displaystyle \kappa =k\operatorname {tg} (ka).}

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: x = a k {\displaystyle x=ak} i y = a κ {\displaystyle y=a\kappa } wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}

z promieniem

r = 2 m 2 V 0 . {\displaystyle r={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V_{0}}}.}

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: y = x ctg ( x ) {\displaystyle y=-x\operatorname {ctg} (x)} lub y = x tg ( x ) . {\displaystyle y=x\operatorname {tg} (x).} W zależności od promienia r {\displaystyle r} (lub wysokości studni V 0 {\displaystyle V_{0}} ) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z: x 0 {\displaystyle -x_{0}} i + x 0 {\displaystyle +x_{0}} o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Cząstka w studni potencjału" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy