Część wspólna w encyklopedii Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Część wspólna , przekrój , iloczyn mnogościowy , przecięcie – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów .
Spis treści Przekrój zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} oznaczony kolorem fioletowym Część wspólna zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} to zbiór , do którego należą te elementy zbioru A , {\displaystyle A,} które należą również do B {\displaystyle B} [1] [2] A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jest oznaczana przez A ∩ B . {\displaystyle A\cap B.} Tak więc:
x ∈ ( A ∩ B ) ⇔ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) {\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)} [1] [3] [4] co jest równoważne zapisowi
A ∩ B = { x ∈ Ω : x ∈ A ∧ x ∈ B } {\displaystyle A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}} [5] [6] gdzie Ω {\displaystyle \Omega } jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią [7] [8] uniwersum [9]
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór ⋂ A {\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}} elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny A {\displaystyle {\mathcal {A}}} [10]
x ∈ ⋂ A ⇔ ( ( ∀ A ∈ A ) ( x ∈ A ) ) . {\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.} Można to równoważnie zapisać jako
⋂ A = { x ∈ Ω : ( ∀ A ∈ A ) ( x ∈ A ) } {\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}} [11] Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów ( A i ) i ∈ I , {\displaystyle (A_{i})_{i\in I},} gdzie zbiór indeksów I {\displaystyle I} jest niepusty, część wspólną definiuje się jako
⋂ i ∈ I A i = { a ∈ Ω : ( ∀ i ∈ I ) ( a ∈ A i ) } , {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},} co jest równoważne
a ∈ ⋂ i ∈ I A i ⇔ ( ( ∀ i ∈ I ) ( a ∈ A i ) ) {\displaystyle a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}} [12] [13] Niech N {\displaystyle \mathbb {N} } będzie zbiorem liczb naturalnych , a P {\displaystyle P} niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych . Wówczas N ∩ P {\displaystyle \mathbb {N} \cap P} jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn. N ∩ P = { n ∈ N : 2 {\displaystyle \mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2} dzieli n } . {\displaystyle n\}.} ( 0 , 1 ) ∩ 1 , 2 = ∅ , {\displaystyle (0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,} ale 0 , 1 ∩ 1 , 2 = { 1 } {\displaystyle [0,1]\cap [1,2]=\{1\}} ⋂ n ∈ N ( 1 − 1 n + 1 , 1 + 1 n + 1 ) = { 1 } {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(1-{\frac {1}{n+1}},1+{\frac {1}{n+1}}\right)=\{1\}} Niech A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek 2 , 5 ) . {\displaystyle [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).} Wówczas ⋂ A = 2 , 5 . {\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].} Operacje skończoneedytuj kod Dla dowolnych zbiorów A , B , C {\displaystyle A,B,C} zachodzą następujące równości:
⋂ { A } = A = A ∩ A , {\displaystyle \bigcap \{A\}=A=A\cap A,} ⋂ { A , B } = A ∩ B , {\displaystyle \bigcap \{A,B\}=A\cap B,} ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)} [1] łączność ), A ∩ B = B ∩ A {\displaystyle A\cap B=B\cap A} [1] przemienność ), ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) {\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)} oraz ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)} [14] rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy , względem drugiego), C ∖ ( A ∩ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)} oraz C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∩ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)} [15] prawo De Morgana ).Ponadto,
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = A . {\displaystyle A\cap B=A.} Operacje nieskończoneedytuj kod Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech { A i : i ∈ I } , {\displaystyle \{A_{i}:i\in I\},} { B i : i ∈ I } {\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}} oraz { C j , k : j ∈ J ∧ k ∈ K } {\displaystyle \{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}} będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów I , J , K {\displaystyle I,J,K} są niepuste. Niech D {\displaystyle D} będzie dowolnym zbiorem. Wówczas
⋂ i ∈ I ( A i ∩ B i ) = ⋂ i ∈ I A i ∩ ⋂ i ∈ I B i {\displaystyle \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})=\bigcap _{i\in I}A_{i}\cap \bigcap _{i\in I}B_{i}} [16] ⋂ i ∈ I A i ∪ ⋂ i ∈ I B i ⊆ ⋂ i ∈ I ( A i ∪ B i ) {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})} D ∩ ⋂ i ∈ I A i = ⋂ i ∈ I ( A i ∩ D ) {\displaystyle D\cap \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap D)} [17] D ∪ ⋂ i ∈ I A i = ⋂ i ∈ I ( A i ∪ D ) {\displaystyle D\cup \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup D)} [17] D ∖ ⋂ i ∈ I A i = ⋃ i ∈ I D ∖ A i {\displaystyle D\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}D\setminus A_{i}} [18] ⋂ j ∈ J ⋂ k ∈ K C j , k = ⋂ k ∈ K ⋂ j ∈ J C j , k {\displaystyle \bigcap _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{j\in J}C_{j,k}} ⋃ j ∈ J ⋂ k ∈ K C j , k ⊆ ⋂ k ∈ K ⋃ j ∈ J C j , k {\displaystyle \bigcup _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap _{k\in K}\bigcup _{j\in J}C_{j,k}} Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas
⋂ ( ⋃ A ) = ⋂ { ⋂ A : A ∈ A } . {\displaystyle \bigcap (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcap \{\bigcap A:A\in {\mathfrak {A}}\}.} Na przykład niech A = { A 1 , A 2 } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\},} gdzie A 1 = { A 1 , A 2 } {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{A_{1},A_{2}\}} oraz A 2 = { A 3 , A 4 } . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{A_{3},A_{4}\}.} Wtedy z jednej strony:
⋂ ( ⋃ A ) = ⋂ { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 , {\displaystyle \bigcap (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcap \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4},} a z drugiej
⋂ { ⋂ A : A ∈ A } = ⋂ { A 1 ∩ A 2 , A 3 ∩ A 4 } = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 . {\displaystyle \bigcap \{\bigcap A:A\in {\mathfrak {A}}\}=\bigcap \{A_{1}\cap A_{2},A_{3}\cap A_{4}\}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}.} Związek z funkcjamiedytuj kod Dla dowolnej funkcji f : X ⟶ Y , {\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,} dowolnej rodziny indeksowanej { A i : i ∈ I } {\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}} podzbiorów zbioru X {\displaystyle X} oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej { B j : j ∈ J } {\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}} podzbiorów zbioru Y , {\displaystyle Y,} zachodzą następujące dwa stwierdzenia:
f − 1 ⋂ j ∈ J B j = ⋂ j ∈ J f − 1 B j {\displaystyle f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_{j}]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]} [19] przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów); f ⋂ i ∈ I A i ⊆ ⋂ i ∈ I f A i {\displaystyle f[\bigcap _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]} [20] obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).W zbiorze potęgowymedytuj kod Zobacz też: zbiór potęgowy . Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego U {\displaystyle U} (tzw. uniwersum ) oraz P ( U ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {U} )} jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym , zbioru U , {\displaystyle U,} to
( P ( U ) , ∪ , ∩ , ∖ , ∅ , U ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )} jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a ). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór U {\displaystyle U} jest elementem neutralnym operacji części wspólnej ∩ . {\displaystyle \cap .}
Zapis
⋂ A , {\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}},} gdy A = ∅ {\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing } (tzn. gdy A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[21]
↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓ , s. 15. ↑ Kuratowski 1980 ↓ , s. 19. ↑ Kuratowski 1980 ↓ , s. 20. ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓ , s. 7. ↑ Leitner 1999 ↓ , s. 39. ↑ Ross i Wright 1996 ↓ , s. 25. ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓ , s. 18. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 21. ↑ Ross i Wright 1996 ↓ , s. 27. ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓ , s. 46. ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓ , s. 47. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 53. ↑ Kuratowski 1980 ↓ , s. 43. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 17. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 19. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 56. ↑ a b Rasiowa 1975 ↓ , s. 55. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 58. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 81. ↑ Rasiowa 1975 ↓ , s. 78. ↑ Guzicki i Zakrzewski 2005 ↓ , s. 33. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7 . Kazimierz Kuratowski , Andrzej Mostowski : Teoria mnogości OCLC 250182901 . [dostęp 2016-09-23].Kazimierz Kuratowski : Wstęp do teorii mnogości i topologii . Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9 .Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów . Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3 . Helena Rasiowa : Wstęp do matematyki współczesnej . Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864 .Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna . E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN , 1996. ISBN 83-01-12129-7 . 
