Człon inercyjny


Człon inercyjny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Człon inercyjny – w automatyce to układ, którego transmitancja ma postać

G ( s ) = k ( 1 + s T 1 ) ( 1 + s T 2 ) ( 1 + s T n ) , {\displaystyle G(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})\cdots (1+sT_{n})}},}

gdzie:

k R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } wzmocnienie układu, T i R + , i = 1 , 2 , , n {\displaystyle T_{i}\in \mathbb {R} ^{+},i=1,2,\dots ,n} – stałe czasowe inercji, n {\displaystyle n} – rząd inercji członu.

Człon inercyjny I rzędu | edytuj kod

Człon inercyjny pierwszego rzędu ma transmitancję postaci:

G ( s ) = k 1 + s T . {\displaystyle G(s)={\frac {k}{1+sT}}.}

Odpowiedź impulsowa:

g ( t ) = k T   e t T 1 ( t ) . {\displaystyle g(t)={\frac {k}{T}}\ e^{-{\frac {t}{T}}}\cdot \mathbf {1} (t).}

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi:

  • w dziedzinie operatorowej:
H ( s ) = G ( s ) X ( s ) = k 1 + s T 1 s = k s ( 1 + s T ) , {\displaystyle H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{1+sT}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT)}},}
  • w dziedzinie czasu:
h ( t ) = k ( 1 e t T ) 1 ( t ) . {\displaystyle h(t)=k\left(1-e^{-{\frac {t}{T}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).}

Charakterystyka sinusoidalna członu inercyjnego I rzędu wynosi:

y ( t ) = k T ω 1 + ω 2 T 2 e t T + k 1 + ω 2 T 2 sin ( ω t + ϕ ) . {\displaystyle y(t)={\frac {kT\omega }{1+\omega ^{2}T^{2}}}e^{-{\frac {t}{T}}}+{\frac {k}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}}}\sin(\omega t+\phi ).}

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

G ( j ω ) = k 1 + j ω T = k 1 + ( ω T ) 2 j k ω T 1 + ( ω T ) 2 , {\displaystyle G(j\omega )={\frac {k}{1+j\omega T}}={\frac {k}{1+(\omega T)^{2}}}-j{\frac {k\omega T}{1+(\omega T)^{2}}},}

przyjmując G ( j ω ) = P ( ω ) + j Q ( ω ) {\displaystyle G(j\omega )=P(\omega )+jQ(\omega )} otrzymuje się:

P ( ω ) = k 1 + ( ω T ) 2 , {\displaystyle P(\omega )={\frac {k}{1+(\omega T)^{2}}},} Q ( ω ) = k ω T 1 + ( ω T ) 2 . {\displaystyle Q(\omega )=-{\frac {k\omega T}{1+(\omega T)^{2}}}.}

Charakterystyka fazowa:

ϕ ( ω ) = arctg ( ω T ) . {\displaystyle \phi (\omega )=-\operatorname {arctg} \,(\omega T).}

Człon inercyjny II rzędu | edytuj kod

Człon inercyjny drugiego rzędu ma postać:

G ( s ) = k ( 1 + s T 1 ) ( 1 + s T 2 ) . {\displaystyle G(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})}}.}

Odpowiedź impulsowa:

g ( t ) = k T 1 T 2 ( e t T 1 e t T 2 ) 1 ( t ) . {\displaystyle g(t)={\frac {k}{T_{1}-T_{2}}}\left(e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).}

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego II rzędu wynosi:

  • w dziedzinie operatorowej:
H ( s ) = G ( s ) X ( s ) = k ( 1 + s T 1 ) ( 1 + s T 2 ) 1 s = k s ( 1 + s T 1 ) ( 1 + s T 2 ) , {\displaystyle H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT_{1})(1+sT_{2})}},}
  • w dziedzinie czasu:
h ( t ) = k ( 1 T 1 T 1 T 2 e t T 1 + T 2 T 1 T 2 e t T 2 ) 1 ( t ) . {\displaystyle h(t)=k\left(1-{\frac {T_{1}}{T_{1}-T_{2}}}e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}+{\frac {T_{2}}{T_{1}-T_{2}}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).}

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

G ( j ω ) = k ( 1 + j ω T 1 ) ( 1 + j ω T 2 ) , {\displaystyle G(j\omega )={\frac {k}{(1+j\omega T_{1})(1+j\omega T_{2})}},}

przyjmując G ( j ω ) = P ( ω ) + j Q ( ω ) {\displaystyle G(j\omega )=P(\omega )+jQ(\omega )} po przekształceniach otrzymuje się:

P ( ω ) = k ( 1 ω 2 T 1 T 2 ) 1 + ( ω T 1 ) 2 + ( ω T 2 ) 2 + ( ω 2 T 1 T 2 ) 2 , {\displaystyle P(\omega )={\frac {k(1-\omega ^{2}T_{1}T_{2})}{1+(\omega T_{1})^{2}+(\omega T_{2})^{2}+(\omega ^{2}T_{1}T_{2})^{2}}},} Q ( ω ) = k ω ( T 1 + T 2 ) 1 + ( ω T 1 ) 2 + ( ω T 2 ) 2 + ( ω 2 T 1 T 2 ) 2 . {\displaystyle Q(\omega )={\frac {-k\omega (T_{1}+T_{2})}{1+(\omega T_{1})^{2}+(\omega T_{2})^{2}+(\omega ^{2}T_{1}T_{2})^{2}}}.}

Charakterystyka fazowa:

ϕ ( ω ) = arctg ω ( T 1 + T 2 ) ω 2 T 1 T 2 1 . {\displaystyle \phi (\omega )=\operatorname {arctg} \,{\frac {\omega (T_{1}+T_{2})}{\omega ^{2}T_{1}T_{2}-1}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Człon inercyjny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy