Czworościan


Czworościan w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Czworościan Siatka czworościanu

Czworościanostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Animacja obrotu czworościanu w przestrzeni 3D

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach A 1 ,   A 2 ,   A 3 ,   A 4 {\displaystyle A_{1},\ A_{2},\ A_{3},\ A_{4}} dana jest wzorem:

V = Δ 288 , {\displaystyle V={\sqrt {\frac {\Delta }{288}}},}

gdzie zmienna pomocnicza Δ {\displaystyle \Delta } to wyznacznik

Δ = | 0 a 12 2 a 13 2 a 14 2 1 a 12 2 0 a 23 2 a 24 2 1 a 13 2 a 23 2 0 a 34 2 1 a 14 2 a 24 2 a 34 2 0 1 1 1 1 1 0 | , {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{vmatrix}},}

a i j {\displaystyle a_{ij}} to długość krawędzi łączącej wierzchołek A i {\displaystyle A_{i}} z wierzchołkiem A j . {\displaystyle A_{j}.}

Promień kuli opisanej na czworościanie:

R = 1 2 Γ Δ , {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\Gamma }{\Delta }}},}

gdzie zmienna pomocnicza Γ {\displaystyle \Gamma } to

Γ = | 0 a 12 2 a 13 2 a 14 2 a 12 2 0 a 23 2 a 24 2 a 13 2 a 23 2 0 a 34 2 a 14 2 a 24 2 a 34 2 0 | . {\displaystyle \Gamma ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

r = 3 V S A 1 + S A 2 + S A 3 + S A 4 , {\displaystyle r={\frac {3V}{S_{A_{1}}+S_{A_{2}}+S_{A_{3}}+S_{A_{4}}}},}

gdzie S A i {\displaystyle S_{A_{i}}} to pole ściany niezawierającej wierzchołka A i . {\displaystyle A_{i}.}

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli A 1 {\displaystyle A_{1}} i A 2 , {\displaystyle A_{2},} B 1 {\displaystyle B_{1}} i B 2 {\displaystyle B_{2}} oraz C 1 {\displaystyle C_{1}} i C 2 {\displaystyle C_{2}} są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów S A 1 B 1 C 1 {\displaystyle SA_{1}B_{1}C_{1}} i S A 2 B 2 C 2 {\displaystyle SA_{2}B_{2}C_{2}} spełniają zależność[1]:

V 1 V 2 = S A 1 S A 2 S B 1 S B 2 S C 1 S C 2 . {\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {SA_{1}}{SA_{2}}}{\frac {SB_{1}}{SB_{2}}}{\frac {SC_{1}}{SC_{2}}}.}

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: S = a b sin α . {\displaystyle S=ab\sin \alpha .}

Przypisy | edytuj kod

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (sympleks):
Na podstawie artykułu: "Czworościan" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy