Domknięcie (topologia)


Domknięcie (topologia) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Domknięcie – operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru A X {\displaystyle A\subseteq X} nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} lub cl A {\displaystyle \operatorname {cl} \;A} (od ang. closure), zawierający A . {\displaystyle A.} Innymi słowy:

cl A = { F X : A F X F τ } . {\displaystyle \operatorname {cl} \;A=\bigcap \{F\subseteq X\colon A\subseteq F\land X\setminus F\in \tau \}.}

Uwagi | edytuj kod

  • Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
  • W dowolnym zbiorze X {\displaystyle X} można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią topologiczną oraz A X , {\displaystyle A\subseteq X,} to następujące warunki są równoważne:
    1. x cl A , {\displaystyle x\in \operatorname {cl} \;A,}
    2. dla każdej bazy otoczeń B ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)} punktu x {\displaystyle x} i każdego U B ( x ) {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)} mamy U A , {\displaystyle U\cap A\neq \varnothing ,}
    3. dla pewnej bazy otoczeń B ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)} punktu x {\displaystyle x} i każdego U B ( x ) {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)} mamy U A . {\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}
  • Jeśli ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} jest przestrzenią metryczną oraz A X , {\displaystyle A\subseteq X,} to
cl A = { x X : d ( x , A ) = 0 } , {\displaystyle \operatorname {cl} \;A=\{x\in X\colon d(x,A)=0\},} gdzie przez d ( x , A ) {\displaystyle d(x,A)} rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. d ( x , A ) = inf { d ( x , a ) : a A } . {\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}.} Oznacza to, że zbiór cl A {\displaystyle \operatorname {cl} \;A} składa się z tych a X {\displaystyle a\in X} dla których istnieje ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} elementów zbioru A {\displaystyle A} zbieżny do a . {\displaystyle a.}
  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz A {\displaystyle A} jest podzbiorem zbioru X , {\displaystyle X,} to punkt z przestrzeni X {\displaystyle X} jest punktem domknięcia zbioru A {\displaystyle A} wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru A . {\displaystyle A.} W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
  • Dla dowolnej przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} punkt należy do domknięcia zbioru A X {\displaystyle A\subset X} wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru A . {\displaystyle A.}

Własności | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią topologiczną oraz A , B X . {\displaystyle A,B\subseteq X.} Wówczas:

  • cl = , {\displaystyle \operatorname {cl} \;\varnothing =\varnothing ,}
  • A cl A , {\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} \;A,}
  • cl ( A B ) = cl A cl B , {\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} \;A\cup \operatorname {cl} \;B,}
  • cl ( cl A ) = cl A {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} \;A)=\operatorname {cl} \;A} (idempotentność).

Dalsze własności | edytuj kod

  • cl X = X , {\displaystyle \operatorname {cl} \;X=X,}
  • A {\displaystyle A} jest domknięty A = cl A , {\displaystyle \iff A=\operatorname {cl} \;A,}
  • A B cl A cl B {\displaystyle A\subset B\implies \operatorname {cl} \;A\subset \operatorname {cl} B} (monotoniczność),
  • cl ( A B ) cl A cl B ; {\displaystyle \operatorname {cl} (A\cap B)\subseteq \operatorname {cl} \;A\cap \operatorname {cl} \;B;} ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
    • Ogólniej, jeśli ( A i ) i I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} jest dowolną rodziną podzbiorów X , {\displaystyle X,} to
      cl i I   A i i I   cl A i . {\displaystyle \operatorname {cl} \;\bigcap _{i\in I}~A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}.}
  • Jeśli ( A i ) i I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} jest rodziną podzbiorów zbioru X , {\displaystyle X,} to
    i I   cl A i cl i I   A i . {\displaystyle \bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}\subset \operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}.}
  • Jeśli ( A i ) i I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru X , {\displaystyle X,} to
    i I   cl A i = cl i I   A i . {\displaystyle \bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}=\operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}.}
  • Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
  • Jeśli Y {\displaystyle Y} jest podprzestrzenią topologiczną X , {\displaystyle X,} zawierającą A , {\displaystyle A,} to domknięcie A {\displaystyle A} w przestrzeni Y {\displaystyle Y} jest równe części wspólnej Y {\displaystyle Y} i domknięcia A {\displaystyle A} w przestrzeni X : {\displaystyle X{:}} cl Y ( A ) = Y cl X ( A ) . {\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}(A)=Y\cap \operatorname {cl} _{X}(A).}
  • Dla każdego A X {\displaystyle A\subset X} mamy: cl A = X Int ( X A ) . {\displaystyle \operatorname {cl} \;A=X\setminus \operatorname {Int} \;(X\setminus A).}

Operacja domknięcia a topologia | edytuj kod

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze X {\displaystyle X} [1].

Przykłady | edytuj kod

  • W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są {\displaystyle \varnothing } i X {\displaystyle X} ), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
  • W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
  • W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 36.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Domknięcie (topologia)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy